Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра комплексной информационной безопасности электронно-вычислительных систем (КИБЭВС)

МОДЕЛИРОВАНИЕ СМО М/М/n/r

Отчет по лабораторной работе №2

по дисциплине «Моделирование автоматизированных информационных систем»

Выполнил:

Студент гр. 712-2

_______ Береснев С.А.

_______ Болтушкин Л.С.

_______ Перов И.А.

_______2026

Руководитель

Преподаватель кафедры КИБЭВС

_______ Прозорова Е.А.

_______2026

Введение

Целью данной работы является получение навыков исследования систем массового обслуживания (СМО) М/М/n/r.

В рамках данной лабораторной работы необходимо построить имитационную модель системы СМО М/М/n/r, получить значения параметров ее функционирования и проверить основные теоретические формулы. Также необходимо исследовать способы повышения пропускной способности системы и последствия их применения.

1 Теоретические сведения

Система массового обслуживания (СМО) представляет собой модель, которая используется для анализа и оптимизации процессов обслуживания клиентов или заявок в различных областях, таких как телекоммуникации, производство, обслуживание клиентов и др.

Система массового обслуживания (СМО) M/M/r/n представляет собой модель, в которой заявки поступают в очередь для обслуживания на серверах. Здесь символ "M" означает экспоненциальное распределение времени между поступлениями заявок, а "r" и "n" обозначают количество серверов и максимальную длину очереди соответственно.

Основные понятия и параметры системы:

- среднее время ожидания в очереди (w) – это время, которое заявка проводит в очереди, ожидая своей очереди на обслуживания;

- процент потерянных заявок – доля заявок, которые не могут быть обслужены из-за ограничений системы (максимальной длины очереди);

- средняя загрузка ресурса (сервера) – это среднее время, в течение которого сервер находится в состоянии занятости.

В рамках моделирования фигурируют следующие параметры:

- длительность одного запуска (Trep) – время, на которое запускается модель в одной репликации;

- количество запусков (Nrep) – количество репликаций для получения статистических данных;

- время между поступлениями заявок (MTBA) – время, прошедшее между поступлением двух последовательных заявок, моделируется как экспоненциально распределенная случайная величина;

- время обслуживания заявки (MST) – время, которое сервер тратит на обслуживание заявки, также моделируется как экспоненциально распределенная случайная величина;

- параметр нагрузки (ρ) – отношение среднего времени обслуживания заявки к среднему времени между поступлениями заявок, определяет степень загруженности системы.

2 Ход работы

2.1 Модель системы m/m/1/r

Перед началом работы необходимо в программе «Arena» собрать модель, соответствующую системе массового обслуживания (СМО) М/М/1/r, которая представлена в презентации.

Данная модель представлена на рисунке 2.1. Для проверки её корректности была составлена сравнительная таблица с полученными значениями и эталонными (таблица 2.1).

Рисунок 2.1 – Модель, соответствующая СМО М/М/1/r

Таблица 2.1 – Сравнительная таблица характеристик модели

Величина	В отчете (Arena)	Теоретически (Mathcad)	Фактические значения
N	0.44	0.438	0.44
v	43.26	43.313	43.26
Q	0	0	0
w	0	0	0
	0.44	0.438	0.44
π, в %	44.08	43.75	44.05

Далее в меню Run/Setup/Replication Parameters установить длительность одного запуска (репликации) T_rep в соответствии с вариантом. Число запусков – N_rep. Чтобы достичь значения ρ равное 0.8, значение MTBA умножается на эту величину. Данные настройки представлены на рисунках 2.2-2.4.

Рисунок 2.2 – Параметры «Replication Parameters» для модели М/М/1/r

Для блока «Create» в соответствии с вариантом задать время между поступлениями заявок и время поступления первой заявки как экспоненциально распределенную случайную величину со средним значением равным MTBA. (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – Параметры блока «Create» для модели М/М/1/r

В блоке «Process» создать ресурс, для которого время обслуживания заявки будет представлять собой экспоненциально распределенную случайную величину с таким средним значением MST, чтобы величина ρ была равна 0.8. (рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Параметры блока «Process» для модели М/М/1/r

По исходным параметрам были рассчитаны показатели w, π и , после чего было произведено сравнение этих показателей с полученными в процессе моделирования. Данный опыт был проведен с различными значениями r. Полученные результаты представлены в таблице 2.2.

Как видно из таблицы 2.2, полученные результаты приблизительно равны теоретическим, это означает, что моделирование было проведено верно, учитывая погрешности.

Таблица 2.2 – Результаты моделирования и расчетом для СМО М/М/1/r

Nrep=3, Trep=50	r	wтеор, сек	w, сек	wmax, сек
ρ=0.8	0	0	0	0	0.45	0.445	0.449	0.445
	1	18.49	18.76	19.24	0.27	0.263	0.598	0.59
	3	50.96	51.38	54.56	0.123	0.122	0.708	0.703
	5	77.72	78.72	80.84	0.067	0.066	0.749	0.747
	7	99.31	100.6	104.03	0.043	0.039	0.776	0.769
	10	123.4	139.33	145.8	0.024	0.018	0.813	0.785

Далее требуется построить графики зависимости полученных показателей от количества мест для ожидания. Данные графики представлены на рисунках 2.5-2.7.

Рисунок 2.5 – График зависимости среднего времени ожидания в очереди от максимального размера очереди

Рисунок 2.6 – График зависимости доли потерянных заявок от максимального размера очереди

Рисунок 2.7 – График зависимости средней загрузки сервера от максимального размера очереди

Далее для ρ = 0.8 необходимо подобрать такое значение r, при котором доля потерянных заявок будет меньше 0.5%, то есть исследуемая система будет идентична системе M/M/1. Экспериментально было подобрано значение r = 16, при данном значении доля потерянных заявок составляет 0.32%.

Затем на основе одной репликации для ρ = 0.8 и r = 4 в пакете Arena строится график зависимости доли потерянных заявок от времени (рисунок 2.8).

Рисунок 2.8 – График зависимости доли потерянных пакетов от заявок

После чего необходимо определить среднее время между отработанными заявками, уходящими из системы – 50.81, определить среднее время между потерянными заявками – 55.66, определить среднее время между заявками, уходящими из системы (отработанными и потерянными) – 581.4.