2 Ход работы
Первым делом была собрана модель, соответствующая системе массового обслуживания (СМО) М/М/1 (рисунок 2.1).
Рисунок 2.1 – Модель в программе «Arena Training»
На данном блоке изображено 4 блока, каждый из них отвечает за ту или иную функцию:
Блок Create – это источник сущностей (заявок) в модели. Он отвечает за создание заявок и определение закона распределения времени между их поступлениями. Его ключевая роль — имитировать входной поток заявок в систему.
Блок Hold – моделирует очередь в системе массового обслуживания. Его основная функция — накапливать и удерживать заявки в том случае, если сервер (ресурс) занят и не может начать их обслуживание немедленно. Блок заявки из очереди, как только становится доступным ресурс для их обработки.
Блок Process – центральный блок, моделирующий сервер или канал обслуживания. Он имитирует процесс обработки (обслуживания) заявки, занимая при этом ресурс на определенное время. Этот блок непосредственно собирает статистику по загрузке сервера и времени обслуживания.
Блок Dispose - завершает жизненный цикл заявки, удаляя её из модели после успешного обслуживания. Этот блок используется для сбора статистики о количестве обслуженных заявок и общем времени пребывания заявки в системе.
Для проверки корректности была составлена сравнительная таблица с полученными значениями и эталонными (таблица 2.1).
Таблица 2.1 – Сравнительная таблица характеристик модели
Величина |
В отчете (Arena) |
Теоретически (Mathcad) |
Фактические значения |
N |
7.897 |
8 |
7.836 |
MST |
88.024 |
88 |
87.694 |
v |
779.73 |
792 |
773.42 |
Q |
7.007 |
7.111 |
6.952 |
w |
690.77 |
704 |
685.77 |
ρ |
0.8898 |
0.889 |
0.8841 |
Далее необходимо было настроить модель, использовав показатели согласно варианту. Данные настройки представлены на рисунках 2.2-2.4.
Рисунок 2.2 – Настройка параметров репликации
Рисунок 2.3 – Настройка генератора заявок
Рисунок 2.4 – Настройка обработчика заявок
По исходным параметрам были рассчитаны показатели N, Q, w, v и ρ, после чего было произведено сравнение этих показателей с полученными в процессе моделирования. Данный опыт был проведен с различными значениями MST. Полученные результаты представлены в таблице 2.1.
Как видно из таблицы 2.2, полученные результаты приблизительно равны теоретическим, это означает, что моделирование было проведено верно, если учитывать погрешность.
Таблица 2.2 – Сравнительная таблица показателей при различных MST
Nrep=…, Trep=… |
MST, сек |
|
|
|
|
|
|
w, сек |
wтеор, сек |
wmax, сек |
v, сек |
vтеор, сек |
vmax, сек |
|
|
MTBA=52 |
26 |
1.003 |
1 |
1.077 |
0.504 |
0.5 |
0.562 |
25.97 |
26 |
28.73 |
51.77 |
52 |
55.08 |
0.499 |
0.5 |
31.2 |
1.527 |
1.5 |
1.608 |
0.92 |
0.9 |
1.009 |
47.51 |
46.8 |
51.98 |
78.53 |
78 |
82.87 |
0.603 |
0.6 |
|
39 |
3.128 |
3 |
3.493 |
2.376 |
2.25 |
2.732 |
122.35 |
117 |
140.7 |
161 |
156 |
179.9 |
0.752 |
0.75 |
|
46.8 |
8.191 |
9 |
10.95 |
7.29 |
8.1 |
10.04 |
375.8 |
421.2 |
510.5 |
422.2 |
468 |
556.6 |
0.898 |
0.9 |
Далее требуется построить графики зависимости полученных показателей от интенсивности обслуживания. Данные графики представлены на рисунках 2.5-2.9.
Рисунок 2.5 – График зависимости среднего числа заявок в системе от значения интенсивности обслуживания
Рисунок 2.6 – График зависимости среднего размера в очереди от значения интенсивности обслуживания
Рисунок 2.7 – График зависимости среднего времени нахождения заявок в ожидании от значения интенсивности обслуживания
Рисунок 2.8 – График зависимости среднего времени пребывания заявок в системе от значения интенсивности обслуживания
Рисунок 2.9 – График зависимости средней загруженности сервера от значения интенсивности обслуживания
После чего была проведена серия опытов с различными значениями MTBA, в которых так же были рассчитаны теоретические значения показателей N, Q, w, v и ρ. Полученные результаты представлены в таблице 2.4.
Таблица 2.4 – Сравнительная таблица показателей при различных MTBA
Nrep=…, Trep=… |
MTBA, сек |
|
|
|
|
|
|
w, сек |
wтеор, сек |
wmax, сек |
v, сек |
vтеор, сек |
vmax, сек |
|
|
MTBA=… |
64 |
22.46 |
inf |
39.21 |
21.78 |
inf |
38.52 |
2033 |
inf |
3595 |
2096 |
inf |
3659 |
0.673 |
1 |
70.4 |
9.08 |
10 |
17.06 |
8.18 |
9.09 |
16.14 |
568.5 |
640 |
1107.3 |
631.6 |
704 |
1170.7 |
0.903 |
0.909 |
|
80 |
4.38 |
4 |
5.49 |
3.57 |
3.2 |
4.65 |
281.2 |
256 |
365.8 |
344.9 |
320 |
431.4 |
0.81 |
0.8 |
|
96 |
2.01 |
2 |
2.45 |
1.35 |
1.33 |
1.73 |
126.6 |
128 |
158.6 |
189.8 |
192 |
224.3 |
0.67 |
0.67 |
|
128 |
0.99 |
1 |
1.16 |
0.49 |
0.5 |
0.63 |
62.47 |
64 |
77.03 |
125 |
128 |
141.4 |
0.49 |
0.5 |
Для данных показателей были построены аналогичные графики зависимостей от интенсивности потока заявок. Данные графики представлены на рисунках 2.10-2.15.
Рисунок 2.10 – График зависимости среднего числа заявок в системе от значения интенсивности потока заявок
Рисунок 2.11 – График зависимости среднего размера в очереди от значения интенсивности потока заявок
Рисунок 2.12 – График зависимости среднего времени нахождения заявок в ожидании от значения интенсивности потока заявок
Рисунок 2.13 – График зависимости среднего времени пребывания заявок в системе от значения интенсивности потока заявок
Рисунок 2.14 – График зависимости средней загруженности сервера от значения интенсивности потока заявок
После выполнения предыдущих этапов, мы можем сделать выводы о том, как параметры распределения поступления и обслуживания заявок влияют на устойчивость и основные параметры функционирования данной системы массового обслуживания (СМО). Повышение интенсивности поступления заявок приводит к увеличению среднего количества заявок в системе, среднего числа заявок в очереди, среднего времени ожидания в очереди и среднего времени нахождения заявки в системе. С другой стороны, увеличение значения интенсивности обслуживания заявок приводит к снижению среднего количества заявок в системе, среднего числа заявок в очереди, среднего времени ожидания в очереди и среднего времени нахождения заявки в системе. Когда оба параметра равны, устойчивость СМО резко снижается, и очередь значительно увеличивается. Это приводит к увеличению времени нахождения заявок в системе, времени ожидания и времени обслуживания. Это происходит потому, что в теории загрузка системы равна 1, но на практике она приближается к 1. Поэтому СМО оказывается в состоянии простоя.
Далее требовалось проверить формулы Литтла по полученным ранее показателям. Полученные результаты были занесены в таблицы 2.4 и 2.5.
Как видно из результатов проверки, формулы позволяют получить показатели достаточно точные показатели для данной модели.
Таблица 2.4 – Проверка формулы Литтла для показателя N
№ опыта |
N |
v, сек |
λ |
λтеор |
1 |
1.003 |
51.77 |
0.019231 |
0.019374 |
2 |
1.527 |
78.53 |
0.019231 |
0.019445 |
3 |
3.128 |
161 |
0.019231 |
0.019429 |
4 |
8.191 |
422.2 |
0.019231 |
0.019401 |
5 |
18.25 |
1703 |
0.019231 |
0.010716 |
6 |
22.46 |
2096 |
0.015625 |
0.010716 |
7 |
9.08 |
631.6 |
0.014205 |
0.014376 |
8 |
4.38 |
344.9 |
0.0125 |
0.012699 |
9 |
2.01 |
189.8 |
0.010417 |
0.01059 |
10 |
0.99 |
125 |
0.007813 |
0.00792 |
Таблица 2.5 – Проверка формулы Литтла для показателя Q
№ опыта |
Q |
w, сек |
λ |
λтеор |
1 |
0.504 |
25.97 |
0.019231 |
0.019407 |
2 |
0.92 |
47.51 |
0.019231 |
0.019364 |
3 |
2.376 |
122.35 |
0.019231 |
0.01942 |
4 |
7.29 |
375.8 |
0.019231 |
0.019399 |
5 |
17.7 |
1625 |
0.019231 |
0.010892 |
6 |
21.78 |
2033 |
0.015625 |
0.010713 |
7 |
8.18 |
568.5 |
0.014205 |
0.014389 |
8 |
3.57 |
281.2 |
0.0125 |
0.012696 |
9 |
1.35 |
126.6 |
0.010417 |
0.010664 |
10 |
0.49 |
62.47 |
0.007813 |
0.007844 |
После чего для произвольного 0.5 < ρ < 1 необходимо составить графики изменения размера очереди и среднего времени ожидания при одной репликации. Данные графики представлены на рисунках 2.15 и 2.16.
Рисунок 2.15 – График изменения размера очереди
Рисунок 2.16 – График изменения среднего времени ожидания