Методичка Исследование функций

Изучив теоретический материал необходимо проверить свои знания. Примерные вопросы используются на практических занятиях для промежуточной аттестации студентов.

1. Изобразите схематически график функции f x над интервалом

9. Постройте схематически график ′( ) над a,b , если график

функции f x имеет вид

функции f x имеет вид

11

Общая схема исследования функции и построения графиков

Общая схема исследования функции состоит из следующих разделов:

1.Общая характеристика функции

1.1.Область определения функции

1.2.Область значений функции

1.3.Чётность

1.4.Периодичность

1.5.Непрерывность.

2.Интервалы монотонности и экстремумы функции.

2.1.Нахождение первой производной функции.

2.2.Определение критических точек.

2.3.Нахождение интервалов монотонности.

2.4.Определение экстремумов функции.

3.Интервалы выпуклости и вогнутости.

3.1.Вычисление второй производной функции.

3.2.Определение точек перегиба.

3.3.Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости

4.Асимптоты графика функции.

4.1Вертикальные асимптоты

4.2.Наклонные асимптоты

5.Таблица результатов исследования.

6.График функции.

Посмотрим на простом примере.

Пример. Провести полное исследование и построить график функции

1.2.Область значений функции E f ,

1.3.Чётность

12

Свойство чётности предполагает выполнение двух условий. Проверяем оба.

1)область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат: выполняется (см. 1.1).

2)для проверки второго условия ставим в функцию вместо

Наша функция не является ни чётной, ни нечётной. Ее график не будет обладать симметрией. Ни относительно не является оси ординат (что присуще чётным функциям), ни относительно точки начала координат (свойства нечётности нет). Такие функции называют «функция общего вида».

1.4. Периодичность Периодичность проверяется только для тригонометрических

функций. Выполняется проверка по определению периодичности:

— если найдётся число T 0 , для которого равенство f x T f x выполняется на всей области определения, то функция периодическая.

Очевидно, если такое число нашлось, то их будет бесконечно много. Термином «период» называют самое маленькое положительное из всех таких чисел.

1.5. Непрерывность Непрерывность проверяют только для подозрительных точек. Под

подозрение подпадают те точки, в которых невозможно выполнить алгебраическую операцию (деление) и точки, которые разделяют интервалы с различным аналитическим заданием функции. При проверке используется критерий непрерывности функции в точке:

—если в подозрительной точке x0 существую конечные

Если равенство нарушается, то можно сделать выводы о характере разрыва в исследуемой точке. [1]

У нашей функции разрывов нет, она непрерывна на всей области определения (как композиция непрерывных функций).

2. Интервалы монотонности и экстремумы функции. 2.1. Нахождение первой производной функции.

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Первая производная имеет вид:

13

2.2. Определение критических точек.

Критические точки получаем как решение двух уравнений:

У нашей функции три критических точки, все они принадлежат области определения.

2.3. Нахождение интервалов монотонности.

Критические точки разбивают область определения функции на четыре части. Удобно отметить их на числовой оси. Масштаб выбирается произвольно. Определим знак первой производной в каждой

Характер монотонности можно показать стрелками.

2.4. Определение экстремумов функции.

III.Интервалы выпуклости и вогнутости.

3.1.Вычисление второй производной функции.

3.2. Определение точек перегиба.

Точки, подозрительные на перегиб, находим, решая два уравнения:

14

3.3. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости.

Критические точки разбивают область определения функции на три части. Определим знак второй производной в каждой из них. Получим:

Правило дождя легко просматривается в нижней строке – представьте, что там нарисован зонт. Перемена знака второй

IV. Асимптоты графика функции. 4.1 Вертикальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты могут быть только в точках разрыва, у нашей функции их нет.

4.2. Наклонные асимптоты Для нахождения наклонных асимптот считаем два предела.

15

VI. График функции (рисунок 9).

Теперь выводы перенесём на график. Начинать построение удобно с асимптот (если таковые имеются). Далее поставить характерные точки, это экстремумы и точки перегиба. Используем последнюю строку таблицы. После чего поведение кривой (графика) станет однозначно определено.

Рис.9. График функции

Исследование функции нескольких переменных

Здесь дело обстоит сложнее. Графиком функции двух переменных является поверхность в трёхмерном пространстве.

Рис.10. График функции двух переменных

16

Строить его мы не будем. Но некоторые особенности поведения такой функции можно выяснить с помощью производных. Основной интерес представляют экстремумы и направления возрастания (убывания) функции.

Необходимое условие экстремума

называются критическими или стационарными.

Равенство частных производных нулю выражает лишь необходимое, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть функция z f x, y : а) определена в некоторой окре-

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго

порядка f // (x , y ) A ; f (x , y ) f (x , y ) B ; f / (x , y ) C. Тогда, если

xx 0 0 0 0 0 0 yy 0 0

причем если А<0 — максимум, если А>0 — минимум. В случае ∆=АС— В2<0, функция z f x, y экстремума не имеет. Если ∆=АС— В2=0, то

вопрос о наличии экстремума остается открытым. Требуется дополнительное исследование.

Исследование функции двух переменных на экстремум проводится по следующей схеме, аналогичной уже рассмотренной нами ранее для одной переменной:

1.Найти частные производные функции z'x и z'y.

2.Решить систему уравнений z'x =0, z'y =0 и найти стационарные точки функции.

3.Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4.Найти значения функции в точках максимума и минимума.

Направление возрастания функции двух переменных

17

Определяется с помощью двух инструментов: производной по направлению и градиента.

производная в данном направлении l вычисляется по формуле:

При этом направление из точки М задаётся вектором l lx i ly j , а Cos , Cos - направляющие косинусы этого вектора. Их можно найти

произведению вектора градиент на единичный вектор направления:

называется линией уровня функции двух переменных

2.Градиент указывает величину наискорейшего роста функции z f x, y .

3.Модуль градиента равен наибольшей производной по направлению в данной точке.

При исследовании функции важно помнить, что вектор gradz указывает направление наискорейшего роста функции z f x, y из точки М. На графике это выглядит как подъём поверхности.

Пример исследования функции двух переменных

Исследовать на экстремум функцию z 2 y x2 y2

1.Находим частные производные по обеим переменным. При дифференцировании по одной из переменных другая считается константой:

18

плоскости:

Очевидно, что все эти вектора направлены к точке с координатами (0,1) – наискорейший рост функции происходит по направлению к её максимуму.

Модуль производной функции по направлению во всех случаях равен 2, подъем графика происходит под одним и тем же углом. Примерно 26 градусов. Посмотрите на рисунок 10.

Вопросы для самоконтроля по теме «Исследование функции двух переменных»

1.В каком направлении в точке ( , 1) функция = cos быстрее всего убывает?

2.В каком направлении в точке ( /2, −1) функция = cos быстрее всего возрастает?

3.Найти производную функции = 2 + 2 в точке (3,4) по направлению градиента.

4.Чему равна производная функции = 2 − 2 в точке (1,2) по направлению, перпендикулярному направлению градиента

5.Чему равна производная функции = 3 + 2 − √14 в точке (1,2) по направлению градиента.

6.Исследовать на экстремум функцию = 3 + 3 − 3 + 1.

координатного угла.

Индивидуальные задания по теме «Исследование функции»

Номер варианта выбирается по указанию преподавателя. Требуется:

1)провести полное исследование функции f x и построить ей график.

2)Исследовать на экстремум функцию z x, y

20