Методичка Исследование функций

9.Индивидуальные задания по разделу «Математическая статистика»26

Введение

Понятие функции является центральным в математическом анализе. Изучение свойств функций и построение графика помогает решению многих технических задач, а визуализацию полученных результатов трудно переоценить.

Изучение свойств функций в курсе высшей математики проводится с использованием инструментария, изучаемого в теории пределов и дифференциального исчисления. Основные принципы и алгоритмы основаны на теоремах о среднем значение (иногда их называют «французскими», по фамилиям авторов – Коши, Лагранж, Ферма). Перед выполнением практических работ необходимо ознакомиться с этими теоремами, их доказательство приводится в [1].

Тестовые вопросы помогут подготовиться к отчёту по самостоятельной работе, а также к промежуточной аттестации по дисциплине «Высшая математика».

Условия возрастания и убывания функций

x1<x2 , выполняется неравенство f x1 f x2 . В этом случае меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

3

На рис.1а) и 1б) представлены графики возрастающей и убывающей функций. Если точку M перемещать вдоль графика функции слева направо, то в первом случае она будет подниматься, а во втором — опускаться.

Функции, только убывающие или только возрастающие на некотором интервале, называют монотонными.

Сформулируем условия возрастания и убывания функций. Теорема 1: для того чтобы дифференцируемая на интервале a,b

Данные условия возрастания и убывания функции имеют простую геометрическую интерпретацию:

— касательная к графику возрастающей функции в любой ее точке составляет острый угол с положительным направлением оси Ox (рисунок 1а);

— касательная к графику убывающей функции составляет тупой угол с положительным направлением оси Ox (рисунок 1б).

Экстремум

Понятие локального экстремума включает понятия локального максимума и локального минимума функции.

Определение. Точка x0 называется точкой минимума функции f x , если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие: f x f x0

4

Необходимые условия существования экстремума легко получить из теоремы Ферма. Согласно этой теореме точки локального экстремума функции f x следует искать среди тех точек области ее

определения, в которых производная этой функции либо равна нулю, либо не существует.

Такие точки называют критическими (в случае равенства нулю используют термин стационарные) точками функции. Поэтому все точки экстремума функции содержатся среди ее критических точек. Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума. Правило отбора точек экстремума среди критических точек функции формулируется как достаточный признак существования экстремума. Таких признаков два, использовать в решении конкретных задач можно любой из них.

Первый достаточный признак экстремума

При доказательстве теоремы 2 используется теорема Лагранжа [1]. Утверждение признака означает, что экстремальная точка функции разделяет участки монотонности функции.

функции Отметим, что первое достаточное условие экстремума (теорема

2) универсально, его можно использовать как в случае, когда в

5

исследуемой точке производная обращается в нуль, так и в случае, когда производная в этой точке не существует.

При использовании теоремы 2 хорошо виден характер полученного

касательная к будущему графику в данной точке идёт вертикально

(рис.2).

Рис. 2 Острый (угловой) экстремум

этой точке иметь экстремум, а может и не иметь . В этом случае потребуются дополнительные исследования поведения функции.

Выпуклость и вогнутость кривой

называется выпуклой вверх или просто выпуклой.

Визуально это устанавливается легко.

Геометрическая интерпретация понятия выпуклости функции:

6

Инструментом для выяснения характера выпуклости функции является вторая производная.

Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции:

— если во всех точках интервала a, b вторая производная функции y f x отрицательна, то кривая y f x обращена выпуклостью вверх на этом интервале;

7

Рис.5 «Правило дождя»

На рисунке 5 показана связь направления выпуклости кривой со знаком второй производной. Там, где «водичка накапливается» (знак второй производной +) — там кривая выпукла вниз. И наоборот, не накапливается («стекает с вашего зонта», знак второй производной минус) — там кривая будет выпуклой.

Нахождение точек перегиба графика

Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба графика функции. На рисунке 4 точкой перегиба является точка C.

Пусть точка x0 — точка перегиба графика функции. Тогда существует такая — окрестность точки x0 , что в интервале

функция выпукла (вогнута), а в интервале x0 , x0 функция вогнута

(выпукла).

В таком случае слева от точки x0 график функции лежит ниже (выше) касательной, а справа от точки x0 наоборот, график функции

лежит выше (ниже) касательной к графику функции, проведенной в точке x0 . Поэтому касательная к графику функции в точке перегиба, если

она существует, пересекает график (рисунок 6).

8

Рис.6. Касательная в точке перегиба

этой точке вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Асимптоты графика функции

расстояние от переменной точки M графика до этой прямой стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность от начала координат.

Рис.7. Асимптота

На рис.7 график имеет правую наклонную асимптоту. При этом в левой части плоскости возможны пересечения графика с прямой (асимптотой).

Процесс нахождения асимптот логически распадается на два блока. Отдельно ищут вертикальные асимптоты и отдельно – наклонные.

9

Вертикальные асимптоты возможны только в точках разрыва второго рода. Их нахождение осуществляется на основе следующей теоремы.

Рис.8. Вертикальная асимптота

Наклонная асимптота, как и любая наклонная прямая, имеет

получаются разные асимптоты. Рисунок 7 представляет именно такой вариант, наклонная асимптота у функции односторонняя, только при x

Тестовые вопросы по теме

10