2.2. Азимутальная часть решения

Преобразуем выражение (26) к следующему виду:

Сделаем замену переменных , , тогда получим:

Рассмотрим поведение выражения (36) в окрестности точки , сделав замену :

Будем искать функцию у в виде ряда, где – некоторый многочлен по степеням z:

При z, стремящемся к нулю, функция будет приближаться к следующему значению:

Подставляя (40) в (37), получаем:

Группируя члены при , получаем, что (41) выполняется для любых z в малой окрестности точки при условии:

Откуда, с учётом того, что должно быть ограниченной функцией (иначе левая часть (37) при малом смещении около не будет стремиться к нулю), выводим:

Теперь перейдём от рассмотрения полинома к полиному по степеням :

Подставляя это в (36) с учётом того, что мы уже нашли , получим:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим формулу, связывающую их:

Чтобы получить совокупность решений, характерных для данного значения , обрывываем ряд на произвольном -ом слагаемом и приходим к следующему выражению, связывающему .

Введём обозначение:

Тогда (48) примет вид:

Заметим, что является собственным значением оператора квадрата момента импульса частицы [3, с. 120], а – оператора проекции момента импульса на ось Z; само число называют орбитальным квантовым числом, а – магнитным.

Таким образом, мы свели (36) к обобщённому уравнению Лежандра (9):

Его решение выражается через присоединённые полиномы Лежандра следующим образом:

или, на языке азимутального угла,

Азимутальную и полярную части волновой функции обычно объединяют в виде угловой части волновой функции; нормируя, можно получить следующее её представление:

Обратим внимание на то, что полученные функции являются собственными функциями угловой части оператора Лапласа, которая с точностью до множителя совпадает с оператором квадрата момента импульса.

2.3. Радиальная часть решения

Подставим в (22) выражение для из (50), тогда получим:

или, преобразуя,

Обратим внимание на то, что слагаемое похоже на добавку в эффективной потенциальной энергии в задаче движения тела в центральном поле - там оно имело вид , а здесь же – собственное значение оператора квадрата момента импульса.

Введём следующий коэффициент

и будем искать решение в виде полинома, домноженного на экспоненту, в показателе которой находится отрицательное число – с физической точки зрения это означает, что на бесконечности вероятность обнаружить электрон должна стремиться к нулю. Заметим, что энергия системы отрицательна ввиду того, что мы рассматриваем состояния, которые в классическом приближении можно рассматривать как финитное движение.

Подставляя (55) в (53),

получаем рекуррентное соотношение для коэффициентов.

Рассмотрим их поведение на бесконечности:

Заметим, что оно эквивалентно отношению -го и -го коэффициентов ряда для экспоненты :

Квадрат модуля радиальной части волновой функции, домноженный на , является элементарной вероятностью обнаружения частицы на интервале ; при устремлении на бесконечность, ввиду финитности движения в классическом приближении, эта вероятность должна стремиться к нулю – чтобы это было возможным, ряд (58) должен обрываться на каком-то месте, чтобы он не сходился к . Обозначим индекс, на котором происходит этот обрыв, за ; из (57) получаем соотношение, связывающее имеющиеся параметры:

Введём обозначение:

Тогда

Или, подставляя (54),

Таким образом, находим выражение для собственных значений энергии частицы:

Спектр энергии, как можно увидеть, является дискретным.

С учётом нормировки, решение для радиальной части волновой функции имеет следующий вид:

где – так называемые обобщённые полиномы Лаггера, получающиеся из соотношения (57) и представимые в следующем виде: