1.2. Полиномы Лежандра

При решении различных задач математической физики нередко приходится сталкиваться с ортогональными многочленами, включающими в себя полиномы Лежандра, Лагерра, Чебышёва и иные.

Следующее обыкновенное дифференциальное уравнение, возникающее при решении уравнения Лапласа,

где – целые числа, называется обобщённым уравнением Лежандра. Его решение выражается с помощью обычных полиномов Лежандра следующим образом [3]:

где – обыкновенные полиномы Лежандра, вычисляющиеся как:

Соответственно, функции

называют присоединёнными многочленами Лежандра. В отличие от их “обыкновенного” аналога (получающегося при ), присоединённые полиномы не ортогональны друг другу для произвольных значений , однако в ряде случаев, например, когда , ортогональность достигается для многочленов с фиксированным значением .

Глава 2. Основная часть

Уравнение Шрёдингера для волновой функции частицы, находящейся во внешнем поле, имеет следующий вид в координатном представлении [3, с. 75]:

Множество состояний квантовомеханической системы является линейным пространством, поэтому произвольную волновую функцию можно разложить на волновые функции стационарных состояний . Каждому стационарному состоянию соответствует собственное значение полной энергии оператора гамильтона . Используя это, запишем (13) для :

Находим решение в следующем виде:

где является функцией исключительно координат. В дальнейшем, до момента нахождения выражения для полной энергии системы нижние индексы при и будем опускать.

Для электрона в кулоновском поле ядра атома водорода потенциальная энергия определяется как:

В дальнейшем будет использоваться атомная системой единиц, в которой значения массы покоя электрона, постоянной планка и элементарного электрического заряда приняты равными единице, тогда уравнение (16) примет следующий вид:

Используя выражение для лапласиана в сферической системе координат, получаем:

Как уже было оговорено в пункте 1.1, будем искать решение в следующем виде:

Подставляя (18) и преобразуя всё к соответствующему виду:

Тогда левая и правая части данного уравнения обязаны быть равны некоторой константе, обозначим её за C.

Поступаем аналогично с последним уравнением, в итоге получаем:

и приравниваем уже эти уравнения к константе :

Перейдём к решению полученных уравнений.

2.1. Полярная часть решения

Домножим уравнение (25) на и перенесём всё на одну сторону:

Находим общее решение данного уравнения:

Здесь – вещественное число, так как если бы мнимая компонента была бы ненулевой, то решение было бы непериодичным.

Аргумент данной функции – полярный угол , определённый с точностью до слагаемого . Значит, значение функции не должно меняться при соответствующем изменении аргумента:

Это достигается тогда и только тогда, когда m является целым числом:

Найдём константу A. Так как квадрат модуля волновой функции нормирован на единицу, то квадраты модулей , будучи функциями разных аргументов, также должны быть нормированы на единицу относительно соответственно:

Тогда:

Окончательно получаем выражение для полярной части волновой функции, определённой с точностью до фазового множителя :