МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Национальный исследовательский ядерный

университет «МИФИ»

Направление подготовки/специальность 14.03.02 Ядерная физика и технологии

направленность (профиль)/специализация

«--------»

Курсовая работа

Решение уравнения Шрёдингера

для стационарных состояний атома водорода

Обучающегося 2 курса очной формы обучения ------

Москва

2025

Оглавление

ОГЛАВЛЕНИЕ 2

Введение

В начале двадцатого века научное сообщество столкнулось с рядом проблем, которые невозможно было решить с помощью методов и положений классической механики, например – явление излучения абсолютно чёрного тела или фотоэффект. В свою очередь, это стало толчком для создания “новой физики”, одной из компонент которой является квантовая механика. Ключевым понятием в ней является волновая функция, характеризующая состояние определённой физической системы, будь то одиночная частица или множество взаимодействующих атомов в кристаллической решётке.

Так как значение волновой функции определяет поведение системы (например, вероятность того, что какая-нибудь частица будет находиться в выбранном элементе объёма), то возникает вопрос, каким образом её значение зависит от положения исследуемой области в пространстве и от течения времени. В простейшем случае, когда мы рассматриваем состояние нерелятивистских бесспиновых частиц, эта связь задаётся уравнением Шрёдингера.

Уравнение Шрёдингера представляет собой линейное дифференциальное уравнение в частных производных – как известно, нахождение решений уравнений такого рода в общем случае представляет собой довольно трудную задачу, которую не всегда можно выполнить аналитически. В данной работе будет рассмотрен процесс решения стационарного уравнения Шрёдингера для атома водорода – одного из простейших с математической точки зрения случаев.

Глава 1. Теоретическая часть

1.1. Метод Фурье

Инструментарий такой дисциплины, как уравнения математической физики, включает в себя различные способы решений дифференциальных уравнений в частных производных, одним из которых является метод Фурье или метод разделения переменных [1, с. 464]. В качестве примера рассмотрим следующий дифференциальный оператор:

и, например, однородное уравнение гиперболического типа:

с некоторыми краевыми и начальными условиями. Здесь , – известные функции, – неизвестная функция.

Метод Фурье заключается в том, что мы ищем решения уравнения (2), представимые в виде:

которые удовлетворяют граничным условиям, сама система решений является линейно независимой – тогда их линейная комбинация с коэффициентами, найденными из начальных условий, и будет решением краевой задачи и задачи Коши.

Подставляя выражение (3) в (2), получаем:

или, осуществляя деление обеих частей на :

Заметим, что левая часть равенста не зависит от координат, а правая – от времени; они могут быть равны для любых значений t и x тогда и только тогда, когда они постоянны, т.е.

Таким образом, мы получили два уравнения с меньшим числом переменных:

Далее находятся решения уравнений (7), (8), удовлетворяющих граничным условиям; само же решение представимо в виде линейной комбинации частных решений, коэффициенты в которой можно определить, используя начальные условия.