ДОКЛАД-

ВВЕДЕНИЕ

Данный доклад посвящён основным моментам, затронутым в ходе теоретического курса по дисциплине “Проектная практика”, проводимой кафедрой №40. Презентация разделена на три главы, в которых последовательно рассматриваются различные концепты, связанные с темами данных глав.

1.Элементы аналитической (теоретической) механики: понятие лагранжиана, уравнения Лагранжа, канонические уравнения (уравнения Гамильтона) и механика Гамильтона.

2.Элементы квантовой механики: понятие волновой функции, состояния системы, стационарное уравнение Шрёдингера.

3.Элементы физики элементарных частиц: Стандартная модель (СМ), фундаментальные взаимодействия, лагранжиан СМ, одночастичные и двухчастичные процессы, диаграммы Фейнмана.

01 ЛАГРАНЖИАН

Освещение ряда вопросов аналитической механики.

Лагранжиан

●В ряде случаев описание классической механической системы становится значительно проще при использовании “энергетического” подхода, нежели “силового” (из механики Ньютона).

Одним из наиболее общих законов физики считается принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона): согласно нему, каждая физическая система характеризуется особой функцией – функцией Лагранжа , где – количество степеней свободы системы, а и - обобщённые координаты и обобщённые скорости системы.

Заметим, что обобщёнными координатами необязательно могут быть декартовы координаты

– это любые величин, однозначно характеризующие положение системы (например, угол отклонения математического маятника фиксированной длины).

Уравнения Лагранжа

Возвращаясь к принципу наименьшего действия, величина и называется действием, и она, соответственно, должна принимать наименьшее значение из возможных.

Действие S[L] является функционалом – отображением из бесконечномерного пространства функций на множество действительных чисел. Если классические функции одной или нескольких переменных “принимают” число или n-мерный вектор и “выдают” число, то функционалы “съедают” функцию и “выдают” число.

Исследованием функционалов и их экстремумов занимается такая дисциплина, как вариационное исчисление. С помощью него можно заключить, что при выполнении следующих соотношений:

называемых уравнениями Лагранжа, действие минимально.

Уравнения Лагранжа

●В итоге мы получили систему дифференциальных уравнений второго порядка, решение которых, с учётом начальных условий (начальных положений и скоростей элементов системы) позволяет однозначно определить движение механической системы.

Можно отметить важное свойство лагранжиана

– его аддитивность, т.е. лагранжиан системы, состоящей из невзаимодействующих частей A и B, равен сумме их лагранжианов.

Рассмотрим теперь две замкнутые системы A и B, взаимодействующие между собой. Тогда их Лагранжиан равен:

где T – кинетическая энергия соответствующих систем, а U – потенциальная энергия их взаимодействия.

Канонические уравнения

С помощью ряда преобразований (известных как преобразования Лежандра), можно перейти от описания механической системы с помощью системы из уравнений второго порядка к её описанию с помощью системы из уравнений первого порядка. Вводя величины - обобщённые силы и - обобщённые импульсы, можно определить функцию Гамильтона , представляющую собой энергию системы, выраженную через координаты и импульсы:

…где суммирование происходит по немым индексам. Тогда дифференциал от функции Гамильтона равен

Отсюда можно получить уравнения, называемые уравнениями Гамильтона:

Гамильтониан

Важным● свойством гамильтониана является то, что его полная производная по времени равна его частной производной по времени, что довольно удобно при рассмотрении эволюции механической системы:

Гамильтониан активно используется в квантовой физике, только уже в качестве оператора, нежели “классической” функции, о чём будет речь в соответствующей главе.

В области высшей математики также исследуются гамильтоновы системы, но уже с позиции топологии и симплектической геометрии: именно с их помощью вводится операция скобок Пуассона, которая в “квантовом случае” перетекает в коммутатор.

02 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

Рассмотрение наиболее базовых аспектов квантовой теории.