Курсовая_СпиральФренеля

Курсовая работа по общей физике

“математическая формула спирали Френеля”

5

Математическая формула спирали Френеля

Рассмотрим следующую задачу: в пространстве распространяется сферическая электромагнитная волна, расстояние от точки наблюдения до фронта волны равно b, расстояние от источника излучения до фронта волны равно a.

Будем считать, что справедлив принцип Гюйгенса-Френеля: каждый элемент поверхности волнового фронта служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна площади ds элемента. Пусть коэффициент пропорциональности равен , он постоянен на всей поверхности волнового фронта ввиду сферической симметрии.

Разделим волновой фронт на бесконечномалые кольца, расстояние от точки наблюдения до кольца примем равным r.

Напряжённость поля, создаваемая элементарной площадью, равна

или, на языке комплексных амплитуд,

Исходя из принципа Гюйгенса-Френеля, получаем, что

где – радиус-вектор от центра элементарной площади до точки наблюдения, причём

Для дальнейшего решения нам необходимо подробнее рассмотреть геометрию задачи.

Источник обозначим буквой A, точка наблюдения - O. Центр элементарной площади находится в вершине треугольника, опустим из него нормаль на AO – её пересечение с AO обозначим за B. Угол между AO и центром примем за , а между нормалью и вектором – за ϑ.

Из теоремы косинусов получаем:

Беря дифференциал и домножая на (-1), также получим:

Для нахождения величины проекции необходимо найти синус угла ϑ:

Выразим его, найдя соответствующий катет BO в треугольнике, воспользовавшись (6):

Таким образом,

Получаем выражение для проекции амплитуды от элементарного элемента площади на Ox:

Мы собираемся проинтегрировать это выражение по углу , тем самым получая амплитуду от элементарного кольца. Заметим, что мы не находили выражение для проекции амплитуды на плоскость yOz (перпендикулярную Ox): из-за аксиальной симметрии при интегрировании от нуля до она обратится в нуль.

Интегрируя, получаем:

Подставляя это в выражение для напряжённости:

Для удобства внесём сомножители, не зависящие от r, в константу

Тогда выражение для комплексной амплитуды для элементарного кольца обретает следующий вид:

Здесь r – расстояние до соответствующего элементарного кольца, его минимальное значение равняется b. Перейдём к интегралу:

Заметим, что первообразная от второго слагаемого здесь не выражается в элементарных функциях – это так называемая интегральная показательная функция, обозначаемая символом Ei, причём

Окончательно получаем формулу, связывающую величину комплексной амплитуды с расстоянием до последнего “захватываемого” кольца:

Для определения вида кривой рассмотрим случай, когда C=k=1, b=100, , тогда выражение (20) примет вид:

Вид данной кривой в зависимости от параметра x представлен на следующей странице. Сама спираль асимптотически приближается к точке, приблизительно соответствующей половине вектора напряжённости, создаваемой первой зоной Френеля, что согласуется с теорией.

Кривая при .

Кривая при .

Кривая при .

Кривая при .