Вспомогательные / sem Green

УМФ – семинар – Функция Грина

Теорема 0.1 (Представление решения задачи Дирихле при помощи функции Грина).

Усл. G(x, ξ) функция Грина задачи Дирихле (0.1) – (0.2). Утв. Решение задачи (0.1) – (0.2) можно представить в виде:

– производная по внешней нормали к поверхности S в точке ξ S, dSξ – элемент площади поверхности S в точке ξ.

Пример 0.1. В случае, когда D = {|x| < 1} – единичный шар в En для задачи Дирихле (0.1)

– (0.2) функция Грина имеет вид:

а решение задачи представляется формулой Пуассона:

0.2. Метод электростатических изображений (метод отражений)

0.2.1. Физическая интерпретация для E3.

В трёхмерном пространстве функцию Грина задачи Дирихле можно интерпретировать физически как потенциал поля, созданного единичным точечным зарядом, помещенным внутри заземлённой проводящей замкнутой поверхности.

Фиксируем две точки: x и y в области D. В точку x мы поместим единичный положительный заряд, а в точке y будем наблюдать результирующий потенциал.

Пусть в точке x D расположен единичный положительный элекрический заряд. Он индуцирует на заземлённой S некоторе распределение зарядов.

Тогда потенциал электростатического поля в точке y D есть сумма потенциала, созданного единичным зарядом, и потенциала, созданного индуцированными на S зарядами:

1

G(x, y) = |x − y| + g(x, y).

При этом функция g(x, y), соответствующая потенциалу, созданному индуцированными на S зарядами, является гармонической как по x D, так и по y D.

При такой интерпретации, свойство симметричности функции Грина G(x, y) = G(y, x) является математическим выражением принципа взаимности в физике: источник, помещённый в точке x производит в точке y такое же действие, какое производит в точке x такой же источник, помещённый в точке y. Заметим, что функцию Грина называют также функцией точечного источника. Заметим также, что в некоторых книгах, например, в книге Тихонов А.Н., Самарский А.А. "Уравнения математической физики"(Гл. 4, §4), коэффициент

1 ставится не в формуле представления решения (0.4), а в определении функции источника.

ωn

-2-

УМФ – семинар – Функция Грина

Величина q должна быть такой, чтобы для функции g вида (3.3) выполнялось краевое условие

g(x, ξ) = −E(x, ξ) .

Задача 4.

Методом отражений найти функцию Грина задачи Дирихле (0.1) – (0.2) в шаре |x−x0| < R.

Шаг 1. Строим фундаментальное решение уравнения Лапласа по формуле (0.3).

Шаг 2. Помещаем в точку ξ = (ξ1, ξ2), (ξ1 − x01)2 + (ξ2 − x01)2 < R2, единичный положительный заряд. Обозначаем через ξ точку, симметричную точке ξ относительно сферы

S = {|x − x0| = R},

то есть точку, лежащую на луче [x0, ξ) на таком расстоянии |ξ − x0| от центра окружности, чтобы |ξ − x0| · |ξ − x0| = R2. Или в векторном виде:

Чтобы правильно подобрать величину заряда q, положим x S, то есть |x − x0| = R (см. рис. 1). Тогда треугольники x0ξx и x0xξ подобны, так как угол при вершине x0 у них общий, а прилегающие к нему стороны пропорциональны:

Величина q должна быть такой, чтобы для функции g вида (3.3) выполнялось краевое условие

g(x, ξ) = −E(x, ξ) .

И из подобия треугольников x0ξx и x0xξ окончательно получаем

q = |ξ − x0|. R

Итак,

R

g(x, ξ) = − |ξ − x0| · |ξ − x|.

Шаг 4. Строим функцию Грина по формуле G(x, ξ) = E(x, ξ) + g(x, ξ).

Чтобы избавиться в ответе от ξ , ещё раз воспользуемся симметричностью точек ξ и ξ :

УМФ – семинар – Функция Грина

Задача 5.

Методом отражений найти функцию Грина задачи Дирихле (0.1) – (0.2) в четверть-плоскости

D = {x1 > 0, x2 > 0}.

Шаг 1. Строим фундаментальное решение уравнения Лапласа по формуле (0.3). Для данного двумерного случая n = 2, и по формуле (0.3) имеем:

q

Шаг 2.

Помещаем в точку ξ = (ξ1, ξ2) D единичный положительный заряд. Обозначаем через ξ , ξ− точки, симметричную точке ξ относительно прямых {ξ1 = 0} и {ξ2 = 0}, а через ξ+ – точку, симметричную точкам ξ , ξ− относительно прямых {ξ2 = 0} и {ξ1 = 0}, соответственно.

ξ = (−ξ1, ξ2), ξ− = (ξ1, −ξ2), ξ+ = (−ξ1, −ξ2).

Шаг 3. Ищем решение задачи (0.5) – (0.6) в виде

g = −E(q1x, q1ξ ) − E(q2x, q2ξ−) + E(q3x, q3ξ+) =

Чтобы выпонялось краевое условие

g(x, ξ) = −E(x, ξ) ,

Шаг 4. Строим функцию Грина по формуле G(x, ξ) = E(x, ξ) + g(x, ξ).

Здесь легко заметить, что выбор q1 = q2 = q3 = 1 был удачен: в самом деле, тогда, как и требует определение функции Грина,

УМФ – семинар – Функция Грина

Приводить полученную функцию Грина к виду, где нет ξ , ξ−, ξ+, не станем (это несложно, но громоздко).

Заметим, что, хотя вид ответа точно такой же, что и в задаче №5, функция G здесь иная,

поскольку совершенно иначе вычисляются координаты точек ξ и ξ+.

|ξ −x|·|ξ−−x| Ответ: G(x, ξ) = ln |ξ+−x|·|ξ−x| .

Задача 7.

Методом отражений найти функцию Грина задачи Дирихле (0.1) – (0.2) в четверти круга

D = {x21 + x22 6 R, x1,2 > 0}.

Шаг 1. Строим фундаментальное решение уравнения Лапласа по формуле (0.3).

точки, симметричные точке ξ относительно сторон четверти круга. Далее строим точки ξ4 , ξ5 , ξ6 , ξ7 , симметричные построенным точкам относительно продолжений сторон четверти круга (то есть относительно окружности и прямых {ξ1 = 0}, {ξ2 = 0}) (см. рисунок 4).

Рис. 4: Отражения точки ξ от границ четверти круга

Шаг 3. Ищем решение задачи (0.5) – (0.6) в виде

g = −E(q1x, q1ξ1 ) + E(q2x, q2ξ2 ) − E(q3x, q3ξ3 ) + E(q4x, q4ξ4 ) − E(q5x, q5ξ5 ) + E(q6x, q6ξ6 )−

точке ξ относительно окружности q1 = q2 = q4 = q7 = |Rξ| (по аналогии с формулой (3.4), стр. 6). Таким образом,