Вспомогательные / Posobie_Zubov

Рис. 1

41

Равенство (8.1) дает возможность находить коэффициенты особого разложения какой-нибудь функции f (x) по функциям Бесселя, которое имеет вид

Здесь 0 1 2 3 4 — положительные нули функ-

ции J (x), занумерованные в порядке их возрастания. Предположим, что разложение (8.3) существует и что ряд в

правой части этого равенства сходится на отрезке 0,1 равно-

мерно. Тогда помножим обе части равенства (8.3) на xJ ( k x) и

в правой части проведем почленное интегрирование. Таким образом, получается соотношение

те слагаемые, где m k . Поэтому равенство (8.4) перепишется в таком виде:

Разложение (8.3), в котором коэффициенты am определяют-

ся с помощью формулы (8.5), называется разложением функции f (x) в ряд Фурье–Бесселя. Подобные разложения встречаются при исследовании многих вопросов.

42

Предыдущие рассуждения были основаны на двух гипотезах: предполагалось, что разложение такого вида для данной функции существует и что оно равномерно сходящееся, или, по крайней мере, что почленное интегрирование ряда, какое требовалось по ходу дела, законно. Для произвольной функции f (x) справедливость этих гипотез непосредственно не видна. Поэтому предыдущих рассуждений недостаточно, чтобы установить справедливость разложения функций в ряд Фурье–Бесселя.

Ниже без доказательства приводятся теоремы о разложении функций в ряды Фурье по функциям Бесселя. Эти теоремы уточняют общую теорему Стеклова о разложении функции в ряд Фурье по собственным функциям для частного случая, когда собственными функциями являются функции Бесселя.

Теорема 8.1. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [0,l] и имеет абсолютно интегрируемую на (0,l) производную.

( 0) сходится равномерно к f (x) на всяком отрезке [ , l ]

где 0 l . Если f (l) 0, то сходимость будет равномерной

2

на всяком отрезке [ ,l]. (Здесь k — положительные корни

уравнения J (x) 0).

Замечание. Утверждение теоремы 8.1 справедливо также в случае, когда k — положительные корни уравнения (5.7)

J (x) xJ (x) 0 ,

если дополнительно потребовать, чтобы и опустить ус-

43

§ 9. Применение функций Бесселя при решении задач

Многие задачи, возникающие в различных областях науки и техники, математически формулируются как задачи нахождения функции, удовлетворяющей некоторому заданному дифференциальному уравнению с частными производными и дополнительным краевым условиям. Одним из методов решения таких задач является метод разделения переменных. Основная идея этого метода состоит в поиске решения задачи в виде суммы (конечной или бесконечной) специальных частных решений дифференциального уравнения. Всякое из частных решений должно иметь специальную структуру: оно должно представлять собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной независимой переменной. Для определения функций одной переменной при этом возникают обыкновенные дифференциальные уравнения. Если при формулировке задачи используются полярные или цилиндрические координаты, то одним из упомянутых обыкновенных дифференциальных уравнений оказывается уравнение Бесселя (1.1).

Рассмотрим задачу о малых поперечных колебаниях однородной круглой мембраны радиуса R, закрепленной по краям, под действием начального возмущения. Математически эта задача формулируется так.

Пусть D — круг радиуса R, т. е. D x (x1,x2): x R . Требуется найти функцию

удовлетворяющую уравнению

44

и к новой функции w(t, r, ) u[t, x(r, )], то смешанная задача (9.1)–(9.3) запишется следующим образом:

Условие ограниченности w является естественным

следствием физической постановки задачи, а условие периодичности по является следствием условия однозначности решения.

Для решения задачи (9.4)–(9.6) применим метод разделения переменных. Ищем решение уравнения (9.4) в виде произведения двух функций

w(t, r, ) T(t) V(r, ) .

45

Подставив это представление в уравнение (9.4), получим

выражений есть некоторая постоянная (эту постоянную выберем не положительной, чтобы удовлетворить граничным условиям). В результате приходим к системе уравнений для функций

T(t) и V(r, ):

Это возможно лишь при n – целом. Поэтому общий интеграл уравнения (9.10) есть

46

Уравнение (9.11) имеет теперь вид

Введем новую независимую переменную x r и новую функцию y(x) y( r) Z(r). Непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что функция y(x) удовлетворяет уравнению Бесселя:

решения уравнения Бесселя также выбирались ограниченными.

Поэтому y(x) c1Jn(x). Отсюда Z(r) c1Jn( r).

Краевое условие V(R, ) 0 приводит к характеристическому уравнению для определения числа :

V(R, ) 0,

Z(R) 0,

Jn( R) 0.

Следовательно, R (kn) , (k 1, 2, ) – k -й положительный

корень функции Бесселя первого рода целого индекса n. Для числа получаем

ченными решениями уравнения (9.11), обращающимися в нуль при r R.

47

Подытоживая все, полученное выше, можно заключить, что функции

являются ограниченными решениями уравнения (9.4), удовлетворяющие условиям гладкости и граничному условию.

Решение задачи (9.4)–(9.6) ищется в виде формального ряда

w(t, r, ) wnk (t, r, ).

48

Список литературы

1.Кузьмин Р.О. Бесселевы функции. Л.-М.: ГРОЛ, 1935.

2.Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974.

3.Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Нау-

ка, 1971.

3.Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Нау-

ка, 1981.

4.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

5.Уроев В.М. Уравнения математической физики. М.: ИФ «Яу-

за», 1998.

49

СОДЕРЖАНИЕ

50