Вспомогательные / Posobie_Zubov

Доказательство. Предположим, что 0 0 есть нуль функции Бесселя J (x) кратности n (n 2). Учитывая гладкость

функции J (x), отсюда получаем, что J ( 0) J ( 0) 0. Согласно единственности решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка (1.1) из условий J ( 0) J ( 0) 0 следует, что J (x) 0, что противоречит

представлению (2.7)–(2.8) функции Бесселя первого рода J (x).

кратных нулей. В самом деле, предположив, что такой корень существует, и обозначив его через 1 0 , можем записать

( 1) ( 1) 0.

Вычислив производную функции (x) в точке 1 и исклю-

чив из полученного выражения производную J (x) с помощью уравнения Бесселя (1.1), мы придем к следующей системе уравнений относительно J ( 1) и J ( 1) :

( 1) J ( 1) 1J ( 1) 0,

противоречит представлению (2.7)–(2.8), справедливому для функции Бесселя J (x).

31

Если же определитель 0 0 , то согласно теореме 5.2

1

t J2( 1t)dt 0,

0

что опять приводит к неверному выводу о том, что J ( 1x) 0.

Итак, замечание доказано.

Теорема 7.2. Множество нулей функции Бесселя J (x) не может иметь конечную предельную точку, т. е. все нули функции Бесселя изолированные.

Доказательство.

а) Покажем, что точка x 0 является изолированным нулем

не обращается в нуль. Отсюда и следует, что x 0 является изолированным нулем функции Бесселя при 0.

б) Предположим теперь, что 0 является точкой сгущения нулей функции Бесселя J (x), где — любое действительное

число. Это означает, что в любой сколь угодно малой окрестности этой точки есть нуль функции J (x). В силу непрерывности

функции J (x) заключаем, что J ( ) 0. Кроме того, можно построить сходящуюся к точке последовательность {xk}, со-

32

стоящую из нулей функции Бесселя. Учитывая гладкость функции J (x), получим

что является нулем кратности два функции J (x), чего не мо-

жет быть по теореме 7.1.

Следствие. Из теоремы 7.2 следует, что на любом ограниченном отрезке переменной x функция Бесселя J (x) (при лю-

бом действительном ) может иметь лишь конечное число нулей.

Ряд результатов, касающихся корней функций Бесселя J (x), легко следует из замечательной теоремы сравнения, от-

крытой Штурмом. Последняя состоит в следующем. Пусть какой-

равенству (x) (x), причем на этом интервале существуют точки, в которых (x) (x). Тогда любой интеграл уравнения z (x) (x)z(x) 0 имеет, по крайней мере, один корень на интервале (a,b).

Опираясь на эту теорему сравнения Штурма, докажем утверждение, которое будет использовано в дальнейшем.

Лемма 7.1. Пусть на интервале ( , ) функция (x) не-

прерывна и удовлетворяет неравенствам 0 m (x) M . Если функция z(x) — решение дифференциального уравнения

z (x) (x)z(x) 0, x ( , ) ,

33

а 1 ( , ) и 2 ( , ) — два последовательных корня функ-

ции z(x) , то для расстояния ( 2 1) 0 между этими корнями справедливы оценки

из этих функций является осциллирующей, и расстояние между

положен нуль функции z(x) . Отсюда следует, что расстояние

между соседними нулями функции z(x) не меньше, чем . Дей-

интервалу ( 1, 2) . Это означает, что на интервале (x1, x2) функ-

Аналогично доказывается и второе неравенство из (7.2). Перейдем теперь к формулировке свойств корней функций

Бесселя J (x). Для этого будем использовать уравнение Бесселя

34

в приведенном виде (1.4). Заметим, что J (x) x Z (x) и что положительные корни функций J (x) и Z (x) совпадают.

Теорема 7.3. Функция Бесселя J (x) имеет счетное число положительных нулей. Расстояние между двумя последователь-

также имеет бесконечное число нулей.

Далее, все нули функции Бесселя J (x) изолированные

(теорема 7.2), поэтому на любом отрезке xk , xk 1 может содержаться лишь конечное число нулей. Отсюда следует первое ут-

35

верждение теоремы о том, что множество положительных нулей функции J (x) счетно.

На основании этих неравенств можно заключить, что расстояние между последовательными нулями функции Бесселя J (x) при

1 меньше, чем , и стремится к при неограниченном воз- 2

растании значений корней.

4º. Пусть 1 . Для всякого числа 0 найдется такое

2

36

стояние стремится к при удалении нулей от начала координат. Отметим, что полученный результат о том, что расстояние между соседними нулями функции Бесселя стремится к по мере их удаления от начала координат, согласуется с асимптотиче-

ским представлении (6.1) функции Бесселя J (x).

то по теореме сравнения Штурма на интервале (0, ) находится,

по крайней мере, один нуль функции J 1 (x). В частности, на ин-

тервале (0, ) находится наименьший положительный нуль

функции J (x) . Таким образом, величина наименьшего положи-

1

тельного нуля функции Бесселя J (x), 0, возрастает с воз-

растанием числа . Нетрудно увидеть, что она возрастает бесконечно при безграничном возрастании . Это следует из формулы

37

могут иметь общего нуля. В самом деле, при любом целом положительном m справедливо следующее равенство, получаемое с помощью рекуррентного соотношения (3.10):

J m(x) f (x)J (x) F(x)J 1(x) ,

где f (x) и F(x) — известные функции. Если бы при некотором0 оказалось, что J ( ) J 1( ) 0, то при любом достаточно большом m оказалось бы, что и J m( ) 0 . Это противоре-

чит утверждению теоремы 7.4.

38

Теорема 7.5. Между двумя последовательными положительными нулями функции Бесселя J (x), 0 находится один

и только один корень функции Бесселя J 1(x) и, наоборот.

Доказательство. Пусть 0 и 1 0, 2 0 — два по-

следовательных нуля функции Бесселя J (x). Воспользуемся соотношением (3.1):

Функция J (x) гладкая на отрезке [ 1, 2] и обращается в нуль x

на концах отрезка. По теореме Ролля, найдется точка ( 1, 2) такая, что производная этой функции обращается в точке в нуль, т. е.

то аналогично доказывается, что между двумя соседними нулями функции J 1(x) лежит, по крайней мере, один корень функции

J (x).

Сопоставляя два полученных утверждения, убеждаемся в том, что положительные нули функций J (x) и J 1(x) разделя-

ют друг друга, т. е. между двумя положительными нулями функ-

39

ции J (x) находится один и только один корень функции

J 1(x) и, наоборот.

Для приближенного вычисления первых положительных

где ради краткости положено (2 1 4k) . 4

Для вычисления положительных корней функции Бесселя J (x) с большими номерами пользуются асимптотическим пред-

ставлением (6.1) функции Бесселя и получают

( ) 3 k . k 4 2

На рис. 1 представлены графики функций Бесселя J0(x) , J1(x) и

J2(x) .

§ 8. О разложении функций в ряды Фурье–Бесселя

Раньше было установлено, что функции Бесселя J (x) при

1 обладают свойством ортогональности, которое в применении к ним выражается равенством

1

ные друг от друга. Если , то равенство (8.1) заменяется другим:

40