Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Уравнения математической физики. Методы математической физики.

Файл:

Вспомогательные / Posobie_Zubov

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.02.2026

Размер:

713.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

J (x) 6 J

4 x

т. д., при этом


						48		8									24
	(x) J (x)									J (x)									1 J (x)		и
	(x) J (x)									J (x)							x2		1 J (x)		и
3	2				x3			x				1					x2			0
	x			2		1			x			4		1			x		6
(x) 1																				...
(x) 1		2				(2!)2					2									...
		2				(2!)2					2			(3!)2			2
	J1(x)		x		1 x			3						1 x		5
																		...
							2								2			...
		2 1!2!					2						2!3!		2

§ 4. Функции Бесселя, индекс которых равен целому числу с половиной

1º. Рассмотрим сначала простейший								случай, когда			1	.
1º. Рассмотрим сначала простейший								случай, когда				.
Согласно определению функции Бесселя J1 (x)										2
Согласно определению функции Бесселя J1 (x)									имеем:
								2
	x	1			( 1)k				x	2k
	x		2		( 1)k				x	2k
J1 (x)										.
J1 (x)						1				.
	2								2

2				k 0 (k 1)			k 1
2				k 0 (k 1)		2	k 1
						2

Так как

	1


2
		0

то

e t t 1/2dt e t d(2t) 2 e 2 d ,

0 0

(s 1) s (s) ,

1 , 2

1 3 , 2 2

1 3 5 , 2 2 2

……………………... ,

	2k 3	1 3		2k 1		1 3 (2k 1)	.


						2k 1
	2	2 2	2
Учитывая также, что для натуральных k					(k 1) k!, получим

					1				( 1)k 2k 1
				x
				x		2
J1 (x)


				2			k 0 k! 1 3 (2k 1)
	2			2			k 0 k! 1 3 (2k 1)
	2
			1					( 1)k
		2
		2		2							2k
											2k
										x
										x
		x			k 0		(k!2k) 1 3 (2k 1)

x	2k


2
1					( 1)k	x2k 1
1		2			( 1)k	x2k 1

			x		(2k 1)!
				k 0

Ряд в правой части последнего равенства представляет собой разложение функции sin x . Поэтому оказывается справедливым равенство

										J				(x)				2			sin x .														(4.1)
										J			1	(x)							sin x .														(4.1)
													1						x
													2						x
													2
	2º. Рассмотрим теперь случай, когда																										1		. Имеем
	2º. Рассмотрим теперь случай, когда																										2		. Имеем
										1																	2
										1											( 1)k										x			2k
								x	2												( 1)k										x
				J		1 (x)																											.
				J		1 (x)																	1										.
								2															1									2
				2								k 0				(k		1)						k 1
				2								k 0				(k		1)						k 1
Принимая во внимание, что																							2
Принимая во внимание, что
	1						2k 1										1 3						2k 1							1 3 (2k 1)							,
	1						2k 1										1 3						2k 1							1 3 (2k 1)
		k 1
		k 1																					2												2k
2							2									2 2							2												2k
получим
							x		1											( 1)k 2k													2k
																																	2k
									2																					x
				J		1 (x)


							2					k 0				k! 1 3 (2k 1) 2
					2		2					k 0				k! 1 3 (2k 1) 2
					2
															k																				k
				2											k											2						( 1)			k
				2							( 1)											x2k				2						( 1)				x2k .
																						x2k			x											x2k .
			x			k 0	(k!2k) 1 3 (2k 1)																		x			k 0				(2k)!
						k 0																						k 0

Ряд, стоящий в правой части последнего равенства, является функцией cosx. Следовательно,

J 1

(x)	2	cos x.	(4.2)

	x

3º. Функции Бесселя, вообще говоря, являются новыми трансцендентными функциями, не выражающимися через элементарные функции. Исключением из этого правила являются функции Бесселя, индекс которых равен целому числу с полови-

ной, т. е. 2m 1 , где m − целое число. Докажем это. Функция

Бесселя J

(x)

sin x

(см. (4.1)) представляет собой супер-

позицию элементарных функций. Для

m 0

применим к ней

формулу (3.3) и получим

(x)

( 1)m

sin x

xdx m

Отсюда найдем J1

(x):

2m 1

sin x

(x) ( 1)

xdx m

Функция

sin x

m 0

, как нетрудно видеть, является

xdx m

суперпозицией элементарных функций. Следовательно, и функ-

ция Бесселя J1	(x),	m 0, выражается через элементарные
	m
2

функции.
Что касается отрицательных целых m,			то аналогичные рас-
суждения, проведенные		с использованием	соотношения (3.5),

примененного к функции Бесселя J 1

(x) , позволяют получить

представление функции J 1 m x вида

						m		1	d	m		cosx
J			x	2	x


							2							,
	1						2		xdx		m			,
		m											x

	2
	2

откуда опять следует вывод, что J 1 m x − суперпозиция эле-

ментарных функций.

Итак, на основании доказанного можно сделать вывод, что функции Бесселя с индексами, равными целому числу с половиной, представляют собой суперпозиции элементарных функций.

§ 5. Ортогональность функций Бесселя

Остановимся на рассмотрении функций Бесселя J (x) в

случае 1. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 5.1. Для любых действительных чисел													1 0 и
2 0	функция Бесселя							J (x),		1, удовлетворяет следую-
щему интегральному соотношению:

t J ( 1t)J ( 2t)dt
0
			1									1	2,

		2
		2	2 1 J ( 1)					J ( 2) 2J ( 1)J ( 2) ,
		1		2
		1		( 1)	2	1			2		2

						2						1	2.
		2 J				2	1 2 J ( 1) ,					1	2.
									1

Доказательство. Пусть дана функция Бесселя J (x), где

1. Она удовлетворяет уравнению Бесселя, записанному в дивергентной форме (1.2).

(x)

J (x) 0.

Введем вместо x новую независимую переменную t

по правилу

x 1t, 1 0.

Непосредственной подстановкой нетрудно убе-

диться в том, что новая функция

J ( 1t)

переменной t удовле-

творяет уравнению

d d J

( t)

( t) 0.

(5.1)

Ввиду произвольности положительного числа 1

можно за-

ключить, что для функции

J ( 2t) ,

также справедливо

равенство

d J

(

2 t

( t) 0.

(5.2)

Умножим обе части равенства (5.1) на J ( 2t) , а обе части ра-

венства (5.2) — на J ( 1t) и вычтем одно из другого. В результа-

те получим

t J ( 1t)

d J		(	2	t)			d J		( t)
			2		tJ	( t)				1
	dt				tJ	( t)		dt
	dt					2		dt
12 22 t J ( 1t) J ( 2t).
12 22 t J ( 1t) J ( 2t).											(5.3)

Проинтегрируем соотношение (5.3) по интервалу 0,1 и

примем		во	внимание,	что	d J ( t)		где

					dt	J ( t) ,
					dt
J	(x)	d J (x)	. В результате будем иметь
J	(x)		. В результате будем иметь
		d x
		d x

dtd

		d J ( t)			d J ( t)
t J ( t)		2	t J	( t)	1	dt
t J ( t)			t J	( t)		dt
	1	dt		2	dt
	1	dt		2	dt

		1

( 12 22) tJ ( 1t)J ( 2t)dt ,

или

					d J ( t)											d J ( t)			1
					d J ( t)											d J ( t)			1
tJ ( t)						2				t J	( t)							1
tJ ( t)					dt					t J	( t)						dt
				1	dt							2					dt
								1											0
																			0

					( 12	22) t J ( 1t)J ( 2t)dt .														(5.4)
								0
Представление (2.14) функции Бесселя позволяет заключить,
что при 0			и при t 0
				J ( t)				1					t				O t 2 ,

								( 1)
								( 1)					2
													t
				t J ( t)													O t 2 .
				t J ( t)					( 1)								O t 2 .
									( 1)				2
Поэтому при t 0															t)J ( t) O t2 2					.
	2	t J		( t)J (		2	t) t J					(		2	t)J ( t) O t2 2					.
	2			1		2		1						2				1

Таким образом, в силу условия 1 левая часть равенства (5.4) при t 0 обращается в нуль, и мы получим

( 12 22) t J ( 1t)J ( 2t)dt 2 J ( 1)J ( 2) 1 J ( 2)J ( 1).

При 1 2 отсюда заключаем, что

t J ( 1t)J ( 2t)dt

		1	J	(		)J ( )		J	( )J (		) ,	(5.5)
	2	2	J	(		)J ( )		J	( )J (		) ,	(5.5)
	2	2	1		2	1	2		1	2
1		2

т. е. первое утверждение теоремы 5.1 доказано.

Для доказательства справедливости утверждения теоремы 5.1 при 1 2 в равенстве (5.5) перейдем к пределу при

2 1. Правая часть равенства (5.5) представляет собой дробь,

числитель и знаменатель которой при 2 1 одновременно

стремятся к нулю. Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя

t J2( 1t)dt

						1
						1
	lim									J	(	)J	( )			J	( )J		(	)
	lim				2	2				J	(	)J	( )			J	( )J		(	)
2		1			2	2				1 2		1				2	1 2
				1				2
			J ( )J ( ) J ( )J ( ) J ( )J ( )
	lim				1			2			1		1			2	2		1		2
					1			2			1		1			2	2		1		2
													2
2		1											2
													2
	1						2			1					1			( 1).				(5.6)
2														2
2		J ( 1)							2 J ( 1)J ( 1)					2		J ( 1)J
										1

Учитывая, что функция Бесселя J (t) удовлетворяет уравнению Бесселя (1.1)

t	2J (t) tJ (t) (t2						2)J			(t) 0 ,				(1.1)

найдем									2
	J (t)			1	J (t) (1				2	)J (t).
	J (t)			t	J (t) (1					)J (t).
				t					t2			( )
Подставив указанное представление функции J												( )		в вы-
ражение (5.6), окончательно получим												1
ражение (5.6), окончательно получим
1		1			( 1)	2	1				2	2
2		1				2	1				2	2
tJ ( 1t)dt													,	(5.7)
		2					2
		2	J				2	1			2 J ( 1)
0											1

что завершает доказательство теоремы 5.1.

Пусть теперь 1 0 и 2 0 — не произвольные числа, а

вещественные корни уравнения

			J			(x) xJ				(x) 0 ,				(5.8)

где и – числа такие, что 2										2		0 . Тогда имеет место тео-
рема 5.2.
	Теорема 5.2. Если 1 0								и 2 0 — положительные корни
уравнения (5.7), то для всех 1
		1
		t J ( 1t)J ( 2t)dt 0,										если 1 2 ,
и		0
и								2 2( 12 2) ,
1		1	J		( ) 2								0,
1			J		( ) 2								0,
	2	2							2 2				,
	t J ( 1t)dt									1		2)	,
		1	J		( 1)		2 2 2( 2					2)
0											1		0.
0											2
											2
		2
если 1		2 .
	Доказательство.						1º Согласно теореме 5.1 для любых
1 0,		2 0 и	1		2		справедливо равенство (5.5)							В частно-
сти, оно справедливо и для 1									0, 2 0, являющихся корнями
трансцендентного				уравнения					(5.8).			То, что	1 0,	2 0 —

корни уравнения (5.8), означает, что справедливы следующие равенства:

J	( ) J					( ) 0,
	1		1				1
J	(	2	)	2	J		(	2	) 0 ,	(5.9)
		2		2				2

причем числа и одновременно не равны нулю. Рассматривая равенства (5.9) как систему линейных алгебраических уравнений относительно и , и учитывая, что 2 2 0 , найдем, что определитель этой системы с необходимостью равен нулю:

	J	( )				J	( )					J	( )J (		) J	(		)J ( ) 0.
	J	(	1	)	1	J	1		)		2	J	( )J (	2	) J	(	2	)J ( ) 0.
	J	(	2	)	2	J	(	2	)		2		1	2	1		2		1
			2		2			2
	Отсюда следует, что правая часть равенства (5.5) также рав-
на нулю, т. е.									1
									1
									t J ( 1t)J ( 2t)dt 0.
									0
	В этом случае говорят, что функции J ( 1 x)																		и J ( 2x) ор-
тогональны друг другу с весом x на интервале 0,1 .
	2º. Пусть теперь									1 2 . Если 0, то из равенства (5.7)
								(x) , а если 0,						то можно выразить J (x) .
можно выразить J								(x) , а если 0,						то можно выразить J (x) .

Подставив получившиеся выражения в правую часть соотношения (5.7), мы получим утверждение теоремы при 1 2 .

§ 6. Поведение функций Бесселя при больших значениях аргумента

Выясним, какое асимптотическое поведение функций Бесселя при x .

Воспользуемся для этого уравнением Бесселя в приведенной

форме (1.4). Функция Z(x)					x J (x) удовлетворяет уравнению
			4	2	1
Z			4		1		,	x 0. (1.4)
Z	(x)	1	4x		2	Z(x) 0	,	x 0. (1.4)
			4x

При больших значениях x это уравнение становится похожим на уравнение гармонических колебаний

~	~	,	x 0.
z	(x) z(x) 0

Общее решение последнего уравнения можно записать в виде

~z(x) Acos(x ),

где A — амплитуда, а — фаза.

	Можно ожидать, что решение уравнения (1.4) (полное урав-
нение для				Z(x) )	при x становится близким к решению
~
z(x) Acos(x ).
	И	в		самом деле,		рассматривая при x	член
	4 2	1
			Z(x) как малое возмущение уравнения гармонических
		2	Z(x) как малое возмущение уравнения гармонических
	4x	2
	4x			~	~
				~	~	, можно установить с помощью теории
колебаний z (x) z(x) 0						, можно установить с помощью теории
возмущений, что всякое решение уравнения (1.4) для Z(x)							имеет
при x поведение

Z (x) Acos(x ) O .

В результате этого получаем, что любое решение уравнения Бесселя имеет поведение

	Acos(x )			1	при x .
y(x)			O

		x	x3/2

Далее возникает следующий вовсе не простой вопрос: каковы величины A и для функции J (x). Эти величины были

найдены, исходя из некоторого интегрального представления для

функции J (x)

с помощью метода “перевала”. Было установле-

но, что (этого вывода мы не приводим)

при x . (6.1)

(x)

cos x

x3/2

§ 7. Нули функции Бесселя первого рода

Ортогональность функций Бесселя, как мы видели в § 5, связана с нулями функций Бесселя и их производных. Рассмотрим основные свойства нулей функции Бесселя.

Теорема 7.1. Все нули функций Бесселя простые, кроме, может быть, x 0.

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Вспомогательные

#
17.02.202615.82 Mб0### Бессель (2).ppt
#
17.02.2026713.98 Кб0Posobie_Zubov.pdf
#
17.02.2026284.2 Кб0sem Green.pdf
#
17.02.20265.74 Mб0Полиномы Лежандра (2).pdf
#
17.02.202692.09 Кб0ФОРМУЛЫ ГРИНА .pdf
#
17.02.20261.21 Mб0Функция Грина.pptx