Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Уравнения математической физики. Методы математической физики.

Файл:

Вспомогательные / Posobie_Zubov

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.02.2026

Размер:

713.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

p (p 2 ) Cp Cp 2 0,

(p 2) ,

иформально может быть получена из системы (2.4) заменой на

. При решении системы уравнений (2.9) следует выделить три случая.

1)Пусть параметр 0 не равен половине натурального

числа. В этом случае все коэффициенты Cp , p 1, опять выра-

зятся единственным образом через коэффициент C0 , а именно,

все коэффициенты с нечетными индексами обращаются в нуль, а все коэффициенты с четными индексами вычисляются по формуле

	C	( 1)k C
C2k	2k 2	0	,
C2k	22 k (k )	22k k! (1 ) (2 ) (k )	,

(k 1,2, )

Выбрав значение коэффициента C0 специальным (удобным) об-

разом C0 2 ( 1) , получим

C2k	( 1)k	,	(k 0,1, 2, ) . (2.10)
	2 2k (k 1) ( k 1)

В результате мы приходим ко второму частному решению уравнения Бесселя:

где

x		~
J (x)		(x),
	2

	( 1)k	x
(x)
	(k 1) ( k 1)
k 0		2

(2.11)

(2.12)

Аналогично тому, как это сделано выше, показывается, что ряд (2.12) сходится при всех x 0 и порождает бесконечно диф-

ференцируемую функцию (x).

Определение 3. Получающаяся в этом случае функция

J (x) называется функцией Бесселя первого рода отрицатель-

ного индекса ( -го порядка).
2) Пусть теперь индекс 0	равен половине натурального
нечетного числа, т. е. n 1/2,	(n 0,1, ). В этом случае

все коэффициенты с четными индексами определяются, как и в предыдущем случае, формулой (2.10). Что касается коэффициентов с нечетными индексами, то коэффициенты с индексами от 1 до (2n 1) включительно равны нулю. Коэффициент C2n 1 мо-

жет быть выбран произвольно, а остальные коэффициенты с нечетными индексами, большими (2n 1), однозначно определяют-

ся через коэффициент C2n 1 с помощью рекуррентных соотно-

шений (2.9). Если мы положим C2n 1 равным нулю (самый про-

стой выбор), то для случая n 1/2 получим частное решение уравнения Бесселя вида (2.11)–(2.12). Это решение является функцией Бесселя первого рода индекса (n 1/2), т. е.

J(n 1/2)(x).

3)Пусть, наконец, параметр 0 равен натуральному числу n. Соотношения (2.9) позволяют заключить, что все коэффици-

енты с нечетными индексами равны нулю и что коэффициенты с четными индексами p , p 2n, также равны нулю. Выбрав ко-

эффициенты Cp с четными индексами p , p 2k , (k n) в со-

ответствии с формулами (2.10), найдем, что все рекуррентные соотношения будут выполнены и что частное решение в этом случае представляется в виде (см. (2.11)–(2.12))

	x	n		k	x	2k
				( 1)
J n	(x)					.

	2		k n	(k 1) ( n k 1) 2

Заменив в ряде суммирование по индексу k суммированием по индексу m k n, получим

( 1)m n

2m 2n

J n

(x)

(m n 1) ( n m n 1)

m 0

n x

( 1)m

(m 1) (n m 1) 2

m 0

Принимая во внимание соотношение (2.8), найдем, что при натуральном n

J n(x) 1 n Jn(x).

(2.13)

3º. При построении частных решений уравнения Бесселя (1.1) с помощью обобщенных рядов мы ввели определение функции Бесселя отдельно для неотрицательных и отрицательных значений индекса . Как нетрудно видеть, эти определения можно объединить.

Определение 4. Функция, определяемая равенством

x			( 1)k	x	2k

J (x)					, x 0	, (2.14)

2		k 0	(k 1) ( k 1) 2
называется функцией Бесселя первого рода индекса .
При этом под	понимается любое действительное число: как

целое, так и дробное, как положительное, так и отрицательное. Уравнение Бесселя − обыкновенное дифференциальное

уравнение второго порядка. Следовательно, его фундаментальная система решений состоит из двух линейно независимых решений. В качестве одного из этих решений можно выбрать функцию J (x) — функцию Бесселя первого рода индекса 0. Она ог-

раничена в окрестности точки x 0. Оказывается, что всякое другое решение Y(x) уравнения Бесселя, линейно независимое с

J (x), будет неограниченным в окрестности точки x 0. А

именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1. Всякое решение Y(x) уравнения Бесселя (1.1),

линейно независимое с его решением J (x), 0, в окрестности точки x 0 неограниченно и имеет вид

	A (x) x		B (x),	если	0,

Y(x)	1		1
				если	0.
A2(x) B2(x)lnx,
Здесь Ai(x) и Bi(x),		(i 1, 2) − функции, определенные и ограни-
ченные в точке x 0		и ее окрестности, и Bi(0) 0 .
Доказательство. Пусть Y(x)				− решение уравнения Бессе-
ля (1.1), линейно независимое с решением J (x),						0. Функция
Бесселя первого рода		J (x)	определена в точке			x 0 и ограни-

чена в окрестности этой точки. Из выражений (2.7)–(2.8), определяющих эту функцию, следует, что функция J (x) представима в

		x		~			~
виде	J	(x)			(x),	что функция		(x)	непрерывна при
			2

x0 и что (0) ( 1) 0. На основании этого можно за-

ключить, что найдется такое число 0,				при котором для всех
~	непрерывна и			для нее справедлива
x 0, функция (x)
оценка			1
	~
	(x)			0.
		2 ( 1)
Это означает, что для всех x 0, ,			J (x) 0. В соответствии с

формулой Остроградского–Лиувилля для определителя Вронского решений уравнения (1.1) имеем

Y (x) J (x) Y(x) J	(x)	C	,	x 0, ,
Y (x) J (x) Y(x) J	(x)		,	x 0, ,
		x
		x

причем в силу линейной независимости этих решений C 0. По-

делив обе части последнего равенства на J2(x) 0, получим

d	Y(x)	C		,	x 0, .	(2.15)


dx J (x)		xJ2	(x)


Для любого x 0, ,			путем			интегрирования тождества
(2.15), придем к следующему выражению для функции Y(x):
					Cdt
Y(x) J (x)	Y( )						,	x 0, .

J		( )		tJ2(t)
				x

С учетом (2.7) последнему выражению можно придать такой вид

		Y( )				2 1
Y(x) J	(x)			22 C	t			dt	,	x 0, .
			( )			~	2	(t)
	J			x

Применим к этому интегралу теорему о среднем значении. В результате получим

	Y( )		22 C				dt		x 0, ,
Y(x)		J (x)			J (x)			,		(2.16)
	J ( )		~2	( )		t	2 1
					x

где (x) x, .

Значение интеграла в (2.16) зависит от величины 0:

				dt				1			1				1
																	,	0,
																	,	0,
											2					2
											2					2
		t2 1				2 x												0.
		x				ln ln x,												0.
Следовательно, функцию Y(x) можно представить так
							(x) x				,			если			0
	A (x) B						(x) x				,			если			0					(2.17)
	Y(x)	1			1																	(2.17)
													если				0,
где	A2(x) B2(x) lnx,												если				0,
где
		Y( )					22 1C												2 1C ~
A1	(x) J (x)													,			B1	(x)				(x),
A1	(x) J (x)							2 ~2						,			B1	(x)	~2		( )	(x),
	J ( )										( )										( )
																					~
																				C	~	(x)
				Y( )				C												C		(x)
	A2(x) J0(x)			Y( )				C				ln ,						B2(x)		0			.
	A2(x) J0(x)							~2				ln ,						B2(x)		~2			.
			J ( )						0	( )										( )
				0					0												0
	Функции A1(x) , B1(x) , A2(x) и B2(x)не имеют особенно-
стей в точке x 0, а B1(x)								и B2(x) не обращаются в нуль на от-

резке 0, . Поэтому из равенства (2.16) следует утверждение теоремы.

В разделе 2º настоящего параграфа мы получили и другие частные решения уравнения Бесселя, отличные от функции

J (x).

При индексе , не равном целому числу, мы построили решение J (x), которое, как следует из (2.11)–(2.12), стремится к бесконечности при x 0. Следовательно, функции J (x) и

J (x) линейно независимы. В этом случае общее решение y(x)

уравнения Бесселя имеет вид

y(x) 1 J (x) 2 J (x),

(2.18)

где 1 и 2 — произвольные постоянные.

Часто в качестве второго фундаментального решения вместо

функции J (x)	выбирают функцию Неймана, которая определя-
ется как конкретная		линейная комбинация				функций	J (x) и
J (x) :
N	(x) J		(x) ctg	1	J	(x).	(2.19
N	(x) J		(x) ctg	sin	J	(x).	(2.19


Тогда общее решение уравнения Бесселя представимо в виде
	y(x) 1 J (x) 2 N (x).						(2.20)
Если индекс равен целому числу n, то функции							J (x) и

J (x) , как показано выше, линейно зависимы (см. (2.13)), и об-

щее решение уравнения Бесселя нельзя найти с помощью равенства (2.18). Его ищут с помощью равенства (2.20), понимая под N (x) в этом случае предел при , стремящемся к n:

N (x) lim N (x) .			(2.21)
n	n

В аналитической теории дифференциальных уравнений доказывается, что этот предел существует для всех x 0 и что он

является решением уравнения Бесселя, линейно независимым с решением J (x).

Определение 5. Функция N (x), определяемая соотноше-

ниями (2.19), (2.21), называется также функцией Бесселя второго рода индекса .

§ 3. Линейные зависимости между функциями Бесселя

Найдем соотношения между функциями Бесселя первого рода различных порядков. По определению функции Бесселя J (x)

мы имеем

( 1)k

J (x)

(k 1) ( k 1)

k 0

1º. Разделим функцию J

(x) на x и возьмем от этого част-

ную производную

J (x)

( 1)k x2k

(k 1) ( k 1)

k 0 2

( 1)k k

2k 1

k 1 2 (k 1) ( k 1) 2

Возвращаясь к прежнему суммированию от 0 до и учитывая,

что для натуральных значений k

(k 1)

k!, получим

J (x)

( 1)k 1 (k 1)

x 2k 1

k 0 2

(k 2) ( k 2) 2

( 1)k

1 2k

(k 1) ( 1 k 1) 2

k 0

( 1)k

1 2k

(x)

k 0 (k 1) ( 1 k 1) 2

Таким образом, получается одна из формул, дающих соотношение между функциями Бесселя с разными индексами:

(x)

(3.1)

Ее можно переписать в таком виде:

1 d

(x)

(3.2)

x dx

Равенство (3.2) показывает,

что

дифференцирование

дроби

(x)

с последующим

делением

на x равносильно увеличе-

нию на единицу и изменению знака у упомянутой дроби. Применяя указанное правило m раз, получим формулу, ко-

торую символически можно записать так:

dm J		(x)		J	m	(x)
			( 1)m				,	(3.3)

xdx m	x				x m

где употреблено следующее символическое обозначение:

f (x)

...

f (x) .

xdx m

xdx

2º. Умножим функцию J

(x) на x

и возьмем от этого про-

изведения производную

2 2k

( 1)

J (x)

(k 1) ( k 1)

k 0

( 1)k 2( k)x2 2k 1

k 0 2 2k (k 1) ( k 1) .

Учитывая, что ( k 1) ( k) ( k) , найдем

d				( 1)k x2 2k 1
	x	J (x)
dx	x	J (x)	2	2k 1	(k 1) ( k)
dx		k 0	2		(k 1) ( k)

		( 1)k	x	1 2k
x					x	J 1	(x) .
x		(k 1) ( 1 k 1)			x	J 1	(x) .
	k 0	(k 1) ( 1 k 1)	2
	k 0

Разделив обе части полученного выражения на x, будем иметь

1	d	x J	(x) x 1	J	(x) ,	(3.4)
x
	dx				1

т. е. дифференцирование произведения x J (x) с последующим

делением на x равносильно уменьшению на единицу у упомянутого произведения.

Применив полученное правило m раз, приходим к формуле

dm	x J	(x) x m J	(x) .	(3.5)
xdx m
			m

3º. Вернемся к формуле (3.1). Найдем производную левой части как производную дроби

d	J (x)	x J	(x) x 1J (x)
					.
				2	.
dx	x		x	2
dx	x		x

По доказанному ранее (см. (3.1)), это выражение равно J 1(x) . x

Следовательно:

xJ (x) J (x)

J (x)

x 1

Из последнего равенства выразим J (x):

(x) J

(x)

J (x).

(3.6)

Применив аналогичные преобразования к равенству

x J (x) x J

1(x) ,

без труда получим

(x) J

(x)

(x).

(3.7)

Наконец, складывая равенства (3.6) и (3.7), придем к форму-

ле

J	(x)	1	J	(x) J		(x) .	(3.8)

	2			1		1
Выделим два полезных соотношения, получающихся из пре-
дыдущих равенств при конкретных значениях индекса							. Так,
положив в (3.6) 0, будем иметь
	J0(x) J1(x) ,						(3.9)
а из (3.4) при 1 следует, что
					(x).
	xJ1(x) xJ0

4º. Сравнивая между собой формулы (3.6) и (3.7) заключаем,

что

J 1(x) x J (x) J 1(x) x J (x) .

Таким образом,

J	(x) J	(x) 2		J	(x) .	(3.10)

1	1		x

Соотношение (3.10) есть рекуррентное соотношение между тремя последовательными функциями Бесселя с индексами 1, и1. Оно позволяет, к примеру, выразить все функции Бесселя

первого рода целого порядка через функции J0(x)

и J1(x). Дей-

ствительно, из (3.10) находим

J (x)

2 2

(x) J

(x).

Отсюда последовательно определяем

(x)

(x) J

(x),

(x)

J2(x) J1(x)

J1(x) J

0(x) J1

(x)

1 J

(x)

J (x),

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Вспомогательные

#
17.02.202615.82 Mб0### Бессель (2).ppt
#
17.02.2026713.98 Кб0Posobie_Zubov.pdf
#
17.02.2026284.2 Кб0sem Green.pdf
#
17.02.20265.74 Mб0Полиномы Лежандра (2).pdf
#
17.02.202692.09 Кб0ФОРМУЛЫ ГРИНА .pdf
#
17.02.20261.21 Mб0Функция Грина.pptx