ЛЕКЦИЯ №4
3.2. Потенциальная помехоустойчивость приема двоичных сигналов для канала с постоянными параметрами.
В двоичной системе связи стандартные виды модуляции - это двоичная амплитудная модуляция (ДАМ), двоичная частотная модуляция (ДЧМ) и двоичная фазовая модуляция (ДФМ) [2]. Передаваемые сигналы в зависимости от вида модуляции имеют вид:
u (t) = Umсоsω t
ДАМ : 1 0 ;
u0 (t) = 0
u (t) = U |
|
|
|
|
соsω t |
|
|
|||||||
ДЧМ : 1 |
|
|
m |
|
|
|
1 |
t |
; |
(3.8) |
||||
u |
(t) = U |
m |
соsω |
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
u (t) = U |
|
|
|
|
соsω |
|
t |
|
|
|||||
ДФМ : 1 |
|
|
|
m |
|
0 |
|
t |
; |
|||||
u |
|
(t) = -U |
m |
соsω |
0 |
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Временные диаграммы этих сигналов приведены в конспекте Теория цифровой связи (часть1)[2].
Пусть канал связи является каналом с постоянными параметрами. Принимаемый сигнал искажается только за счет того, что на него накладывается аддитивный белый гауссовский шум (АБГШ).
Рассчитаем вероятность ошибки для оптимального приемника двоичных сиг-
налов. Средняя вероятность ошибки равна: |
|
р=р(1)р(0/1) + р(0)р(1/0); |
(3.9) |
где: р(1), р(0) – априорные вероятности передачи 1 и 0; р(0/1) – условная вероятность приема 0 при передаче 1; р(1/0) – условная вероятность приема 1 при передаче 0.
Рассчитаем р(1/0). Так как мы передавали 0, то z(t)= u0(t) + x(t); но ОП принял
решение, что передавалась 1. |
Следовательно, из-за действия помехи неравен- |
||||||
ство (3.5) имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
Т |
|
|
(t)]2dt; |
|
|
[z(t) - u |
(t)]2dt < |
[z(t) - u |
0 |
(3.10) |
||
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно р(1/0) равна вероятности выполнения неравенств:
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
p(1/0) = p |
|
|
[z(t) - u |
(t)]2dt < |
[z(t) - u |
|
|
(t)]2dt = |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
(t)]2dt |
|||||
= p |
|
[x(t) + u |
0 |
(t) - u |
(t)]2dt < |
[x(t) + u |
0 |
(t) - u |
0 |
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p |
|
[x(t) + u |
|
|
(t) - u |
(t)]2dt < |
[x(t)]2dt |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Т |
2x(t)[u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
p |
|
|
|
(t) - u (t)] [u |
|
(t) - u |
|
(t)]2 dt < 0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
(t)]2dt < 0 |
|
|
||||
p |
|
2x(t)[u |
|
|
|
(t) - u (t)]dt [u |
|
(t) - u |
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p(y < - 0.5Eр );
(3.11)
Через у мы обозначили интеграл от произведения x(t) на разность [u0(t) – u1(t)]. Величина Ер - это энергия разности символов:
Т
Eр [u0(t) - u1(t)]2dt; (3.12)
0
Помеха x(t) представляет собой нормальный белый шум со спектральной плотностью энергии G0 . Интегрирование есть линейная операция, т.е. y – тоже нормальная случайная величина[3]. Еѐ среднее значение равно 0, т.к. среднее значение помехи равно 0. Дисперсия процесса y равна[3]:
|
|
Т |
u1 |
(t) - u0(t) х(t)dt |
Т |
u1 |
(t1) - u0(t1) х(t1)dt1 |
|
2 |
= |
|
|
|||||
σy |
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
Так как усреднению по |
множеству |
подвергается |
т олько |
помеха, то |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
в результате |
усреднения |
произведения х (t) х (t 1) |
получим |
функцию |
||||||
корреляции |
белого шума:G 0δ(t-t1). |
Используя фильтрующее свойство |
||||||||
дельта-функций, получим : |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
= |
|
Т |
2 |
|
|
|
|
|
|
G0 |
u1 (t)-u0(t) |
dt = G0Ер; |
|
|
|
|
(2.13) |
|||
σy |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, ФПВ процесса y запишем в виде:
|
|
|
- |
y2 |
|
|
|||
|
|
1 |
2σ2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
W(y) = |
|
|
|
|
е |
y ; |
(3.14) |
||
|
|
|
|
|
|||||
σy |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
2π |
|
|
|
||||
1
Вероятность приема 1 при передаче 0 есть вероятность того, что нормальная величина у принимает значения меньше - 0.5 Ер:
|
|
|
|
|
|
|
- |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.5Ер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
р(1/0) = |
|
|
|
|
е |
|
2σy |
dy = 1- F |
|
р |
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
σ |
|
|
2π |
|
|
4G |
|
|
||||||||
- |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.15) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где функция F(x) –табулированная функция (интеграл Лапласа)[3]:
F(0)=0.5, F( )=1, F(- )=0 .
Аналогично можно получить такое же выражение для р(0/1). Следовательно, выражение (3.15) есть средняя вероятность ошибки для оптимального приемника.
Анализ (3.15) позволяет сделать следующие выводы:
1.Потенциальная помехоустойчивость оптимального приемника зависит только от отношения энергии разности посылок к спектральной плотности помехи.
2.Минимальная вероятность ошибки равна 0.
3.Максимальная вероятность ошибки для двоичной системы связи равна
0.5.
4.Чем больше энергия разности посылок, тем выше помехоустойчивость системы сигналов.
Вычислим Ер для |
ДАМ, ДЧМ, ДФМ : |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Т |
|
|
|
соsω t - 0)2dt = 0.5U2 |
|
|
|
|||||
ДАМ : Е |
|
= |
(U |
m |
Т ; |
|
|
|||||||
р |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
m |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
соsω t)2dt = U2 |
|
|
||
ДЧМ : Е |
|
= |
(U |
m |
соsω t - U |
m |
Т ; |
|
||||||
р |
0 |
|
|
1 |
|
0 |
m |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
соsω t)2dt = 2 U2 |
|
|||
ДФМ : Е |
|
= |
(U |
m |
соsω t + U |
m |
Т ; |
|||||||
р |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
m |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.16) |
|
Т.о. при постоянной мощности сигнала и, следовательно, |
мощности передат- |
|||||||||||||
чика ( Um2 = const ) наибольшую энергию разности посылок и наибольшую помехоустойчивость имеет ДФМ. Двоичная фазовая модуляция выигрывает 2 раза по мощности передатчика по сравнению с ДЧМ и 4 раза по сравнению с ДАМ. Соответственно, ДЧМ выигрывает 2 раза по мощности передатчика по сравнению с ДАМ и проигрывает 2 раза по мощности передатчика по сравнению с ДФМ.
Формула средней вероятности ошибки для двоичной системы сигналов может быть записана в стандартном виде, если вместо Ер подставить полученные выражения и ввести параметр h02 :
2
|
|
|
h0 |
; ДЧМ :р = 1- F h |
|
; ДФМ :р = 1- F h |
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
ДАМ :р = 1- F |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где : h2 |
|
U2 |
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
m |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
2N0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
N0 = 2G0 - односторонняя спектральная плотность энергии |
|
|
шума; |
|||||||||||||||||||||
В результате |
|
получим общую |
формулу |
в |
|
|
виде; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 для ДФМ; |
|
|
|
||||||||
|
|
р = 1- F α h0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
для ДЧМ; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
где |
α = |
|
|
|
|
|
(2.17) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
для ДАМ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметр h02 – есть отношение энергии бита к N0. На графике рис. 3.4 показана зависимость вероятности ошибки р от h0 . На этом графике параметр h0 отложен в линейном масштабе, а вероятность ошибки - в логарифмическом масштабе, т.е. мы пишем вдоль оси р -истинное значение вероятности ошибки, а откладываем логарифм, т.е. lg р . Ось р направлена вниз.
Рис.3.4.
Анализируя кривые потенциальной помехоустойчивости на рис.3.4 , приходим к выводу, сформулированному выше: для получения заданной вероятности ошибки, например 2,6 10-3, при ДФМ необходимо иметь h0 = 2 (h02 =4), при ДЧМ необходимо иметь h0 =2,82 (h02=8), при ДАМ необходимо иметь h0 =4 (h02
=16).
3