2 семестр / Лекции / Лекция № 6 2025 г

ЛЕКЦИЯ №6 4.2. Шумоподобные сигналы (Ш П С).

Одна из трудноразрешимых проблем при разработке новых систем связи – проблема нахождения оптимальных систем сигналов, реализующих максимальные скорость передачи и помехоустойчивость приема. Для многолучевых каналов мобильной связи устойчивую связь можно получить, в частности, используя сложные, шумоподобные сигналы. К таким сигналам относятся М- последовательности, коды Баркера, функции Уолша и т.п. Сложные или шумо-

подобные сигналы называют также псевдослучайными последовательностями (ПСП). Псевдослучайная последовательность - это последовательность 1 и -1, которые генерируются по определенным известным правилам, но внешне напоминают реализацию шума. По этой причине такие последовательноси называются также шумоподобными. Для ПСП характерно также, что их база В, т.е. произведение длительности сигнала Т на ширину его спектра F значительно больше 1:

Поэтому ПСП называют также сигналами с большой базой. ПСП выбирают так, чтобы их автокорреляционная функция [3] имела явно выраженный максимум, а взаимокорреляционная функция была близка к нулю.

Рассмотрим свойства М-последовательностей, которые являются разновидностью линейных рекуррентных последовательностей (ЛРП). Двоичные линейные рекуррентные последовательности – это последовательности двоичных символов {аi}={a1,a2,…..ai}, удовлетворяющих рекуррентному правилу:

с0аi =с1аi+1 с2аi+2 с3аi+3 с4аi+4 …. сkаi+k ; сi=0 или 1; (4.17)

Устройство, генерирующее ЛРП состоит из элементов памяти и сумматоров по модулю 2. Эти операции делает регистр сдвига с обратными связями. ЛРП задаѐтся производящей функцией G(x), под которой понимают формальный степенной ряд :

Производящую функцию можно представить в виде:

g(x) – многочлен степени r<k;

k

f(x) = сi хi - характеристическое уравнение или характеристический много-

i=1

mod2

член Степень ЛРП равна памяти регистра сдвига. Задаваясь разными многочленами g(x) и f (x), можно получить разные ЛРП. Например, пусть g(x)=1, f

(x)= 1 х2 х5. В результате деления g(x) на f(x) получим последовательность: 1010110101….., т.е. некоторую ЛРП.

Каждому характеристическому многочлену степени k соответствует некоторое множество последовательностей с периодом Ni , определяющим циклическую структуру данной последовательности. Если период ЛРП равен N=2k-1, то такие последовательности называются последовательностями максимального периода или М – последовательностями. Если данная ЛРП является М- последовательностью, то еѐ характеристический многочлен f(x) - неприводимый многочлен, т.е. его нельзя разложить на произведение двух или более многочленов. Существуют таблицы неприводимых многочленов разных степеней. Например, существует 4 двоичных многочлена 2-ой степени, из которых:

-(х)2 =(х)(х) - приводимый;

-х2 1=(х 1)(х 1) – приводимый,

т.к. (х 1)(х 1) =( х2 х х 1)= х2 1; при выполнении умножения следует помнить, что х х=0;

-х2 х =х(х 1) – приводимый;

-х2 x 1 –неприводимый.

Структурные свойства М – последовательностей:

1.Период М – последовательности равен N=2k –1, где k – степень характеристического многочлена.

2.М – последовательности имеют максимальный период среди ЛРП с равными степенями характеристического многочлена.

3.В М – последовательности порядка k содержатся все кодовые комбинации из k символов, кроме комбинации из одних нулей, причем каждая комби-

нация встречается только один раз. Например, М – последовательность порядка k=3 имеет вид:001011100101110010111….. Еѐ период N = 23 –1 =7

и содержит последовательность 0010111. Последовательность из 18 импульсов содержит все возможные комбинации из 3-х импульсов

001,011,100,101,110,010,111.

4.В одном периоде М – последовательности порядка k содержится 2k-1 «единиц» и (2k-1–1) «нулей».

5.Корреляционные свойства М – последовательностей.

Наиболее общей характеристикой корреляционных свойств М – последова-

тельностей является взаимная функция неопределенности (ВФН) Rjk( , ):

-

Е – энергия М – последовательностей;

A(t)j , Ak*(t) – j-я и k-я М – последовательности (звѐздочка означает комплексно сопряженную функцию).

Сечение ВНФ при =0 дает взаимную корреляционную функцию Rjk( ).

1

Если j=k , то выражение (4.20) даѐт функцию неопределѐнности ФН. При j=k и =0 получим из (4.20) нормированную автокорреляционную функцию, связанную преобразованием Винера-Хинчина с энергетическим спектром М – последовательности G( ):

Если М – последовательность периодически повторяется с временным периодом Tп=NТ, где Т- длительность одного импульса, то автокорреляционная функция периодической М – последовательности (ПАКФ) равна:

На рис.4.5 показана стандартная ПАКФ М – последовательности. Нормированная ПАКФ:

-имеет максимум, равный 1;

-является периодической с периодом NT;

-длительность (ширина) пика ПАКФ равна Т;

-боковые лепестки постоянны и равны -1/N.

Взаимная ПКФ зависит от выбора М-последовательностей. Проблема состоит в том, чтобы подобрать достаточное количество М-последовательностей , для которых взаимная ПКФ не превышает заданной величины. Для хороших М- последовательностей уровень боковых лепестков имеет величину N-0.5.

R(τ)

1

τ

NТ

Рис.4.5.

М-последовательности формируются регистром сдвига, который представляет собой генератор двоичных последовательностей. Он содержит триггерные ячейки (элементы памяти) и сумматоры по модулю 2, охваченные обратными связями. Регистр сдвига является цифровым автоматом, работа кото-

рого описывается характеристическим полиномом f(x) степени k. Этот по-

лином, как указано выше, является:

-неприводимым ;

-примитивным (первообразным), т.е. на него делится без остатка полином степени (1+хN) при N=(2k –1) и на него не делится без остатка полином

(1+хL) при L<N.

Количество ячеек регистра равно степени характеристического полинома k. Если коэффициент аi =1, то выход i-ой ячейки подключен к сумматору по мо-

2

дулю 2, если коэффициент аi =0, то выход i-ой ячейки не подключен к сумматору по модулю 2. На рис.4.6 приведена схема регистра сдвига, описываемого характеристическим полиномом f(x)= 1 х2 х3. Для него k=3 (3 ячейки) и выходы 2-ой и 3-ей ячеек подключены к сумматору по модулю 2.

Рис.4.6.

Пусть регистр находится в состоянии 100, т.е. в 1-ой ячейке записана „1‟, во 2-ой и в 3-ей ячейках записан „0‟. Тактовые импульсы сдвигают импульсы, записанные в ячейках «вправо». Так как во 2-ой и 3-ей ячейках записаны нули, то на выходе сумматора тоже „0‟ и „0‟ записывается в 1-ю ячейку. Из 1-ой ячейки „1‟ записывается во 2-ю, а „0‟ из 2-ой записывается в 3-ю. Из 3-ей ячейки “0” идет на выход. Регистр перешел в состояние 010. Теперь на выходе сумматора 1+0=1. Следующий такт : „1‟ из сумматора записывается в 1- ю ячейку, „0‟ из 1-ой ячейки записывается во 2-ю, „1‟ из 2-ой ячейки записывается в 3-ю, „0‟ из 3-ей ячейки идет на выход и т.д. В результате на выходе получаем М-последовательность: 0010111001011100101110010111…..

У неѐ период N=23-1=7 импульсов, в периоде 22-1=3 нуля и 22=4 единицы. Проблема состоит в том, чтобы получить достаточно большое количество М- последовательностей с достаточно малыми взаимно-корреляционными функциями. Количество М-последовательностей равно Q = (N)/k, где (N) – функция Эйлера, т.е. количество чисел в ряду от 1 до (N-1) взаимно простых с N . Если N – простое число, то (N)= N-1.

Для k=3, N=7, (7)=6, Q=2. Для k=19, Q=27594.

Одним из типов ПСП являются коды Баркера. Это сравнительно короткие ПСП длиной 3, 5, 7, 11, 13 импульсов. На рис. 4.7 показана временная диаграмма кода Баркера с N=11:

+1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 -1.

На рис.4.8 показана его автокорреляционная функция.

Рис. 4.7.

3

Если на вход фильтра подаѐтся согласованный с ним сигнал, то на выходе мы получаем автокорреляционную функцию сигнала. В соответствии с этим нарисована временная диаграмма напряжения на выходе полного фильтра, согласованного с кодом Баркера. (тонкая линия на рис.4.10). Фильтр ФСОИ преобразует каждый прямоугольный импульс напряжения u1(t) в треугольный.

6