25. Циркуляция Вектора Индукции Магнитного Поля в Вакууме. Магнитное Поле Соленоида и Тороида

1. Теорема о Циркуляции Вектора Магнитной Индукции в Вакууме 🔄

Циркуляция вектора магнитной индукции ( ) по замкнутому контуру — это интеграл:

• Формулировка (Закон Ампера для магнитного поля): Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру ( ) в вакууме равна произведению магнитной постоянной ( ) на алгебраическую сумму токов ( ), охватываемых этим контуром.

• Правило знаков: Направление тока считается положительным, если оно связано с выбранным направлением обхода контура по правилу правого буравчика.

• Смысл: Эта теорема является интегральной формой основного закона магнитостатики и позволяет легко рассчитать магнитную индукцию для полей, обладающих высокой симметрией (как в случае соленоида и тороида).

2. Магнитное Поле Бесконечного Соленоида

Соленоид — это катушка, состоящая из большого числа витков проводника, намотанных на цилиндрическую поверхность.

• Идеальный соленоид: Считается бесконечно длинным, а витки — плотно прилегающими.

• Расчёт по теореме о циркуляции:

1. Выбираем прямоугольный замкнутый контур

[Image of magnetic field lines in a solenoid] : * Две стороны параллельны оси соленоида (внутри и снаружи). * Две стороны перпендикулярны оси. 2. Из симметрии поля: Магнитное поле сосредоточено внутри соленоида и однородно, а вне соленоида . 3. Циркуляция по замкнутому контуру сводится к интегралу по отрезку , находящемуся внутри соленоида: 4. Суммарный ток, охватываемый контуром, равен произведению тока в одном витке на число витков на длине . Пусть — число витков на единицу длины. Тогда . 5. Приравнивая выражения: .

• Магнитная индукция внутри соленоида:

• — линейная плотность намотки (число витков на единицу длины, ).

• — сила тока.

• Поле однородно внутри соленоида и зависит только от плотности намотки и тока.

3. Магнитное Поле Тороида

Тороид — это соленоид, изогнутый в кольцо (замкнутый соленоид).

• Геометрия поля: Магнитное поле полностью замкнуто внутри тороида и равно нулю вне его. Силовые линии представляют собой концентрические окружности внутри тороида.

• Расчёт по теореме о циркуляции:

1. Выбираем замкнутый контур в виде окружности радиусом внутри тороида, совпадающий с силовой линией.

2. Из симметрии постоянно на контуре и направлено по касательной:

3. Суммарный ток равен произведению тока на общее число витков (так как контур охватывает все витки):

4. Приравнивая выражения: .

• Магнитная индукция внутри тороида (на среднем радиусе ):

• Где — число витков на единицу длины окружности тороида.

• Поле внутри тороида однородно, как и внутри соленоида.

• Поле вне тороида: , поэтому .

Вот конспект по магнитному потоку и теореме Гаусса для вектора магнитной индукции:

26. Поток Вектора Магнитной Индукции. Теорема Гаусса для Вектора Магнитной Индукции Поток Вектора Магнитной Индукции ( ) 🌊

Магнитный поток (поток вектора ) — это скалярная физическая величина, численно равная количеству линий магнитной индукции, пронизывающих заданную поверхность .

• Определение для однородного поля: Если вектор однороден, а поверхность плоская, магнитный поток определяется как:

• — модуль вектора магнитной индукции.

• — площадь поверхности.

• — угол между вектором и вектором нормали ( ) к площадке .

• Определение для произвольного случая: Для неоднородного поля и произвольной поверхности поток вычисляется как интеграл по поверхности :

• Единица измерения: Вебер ( ).

• Физический смысл: Изменение магнитного потока через контур является причиной возникновения ЭДС индукции (закон электромагнитной индукции Фарадея).