38. Свободные Гармонические Электромагнитные Колебания в Колебательном Контуре. Формула Томсона 🎼 Колебательный Контур (lc-контур)
Колебательный контур
— это простейшая электрическая цепь,
состоящая из параллельно соединенных
конденсатора (
)
и катушки индуктивности (
).
Назначение: Предназначен для создания и поддержания свободных (собственных) электромагнитных колебаний.
Аналогия: В механике LC-контур является аналогом маятника:
Конденсатор ( ): Накопитель электрической энергии (
).
Аналог пружины (потенциальная
энергия).Катушка ( ): Накопитель магнитной энергии ( ). Аналог массы (кинетическая энергия).
Свободные (Собственные) Колебания 🔄
Свободные колебания в идеальном LC-контуре — это процесс периодического взаимного превращения энергии электрического поля конденсатора ( ) в энергию магнитного поля катушки ( ) и обратно.
Идеальный контур: Активное сопротивление
,
т.е. нет потерь энергии. Колебания в нём
— незатухающие.Закон сохранения энергии: Полная энергия контура
остаётся постоянной:
Уравнение Колебаний
Колебания описываются
законом сохранения заряда (или
вторым правилом Кирхгофа) в контуре.
ЭДС самоиндукции (
)
в катушке равна по величине напряжению
на конденсаторе (
):
Поскольку
и
,
получаем основное уравнение свободных
колебаний (дифференциальное уравнение):
Это уравнение гармонического
осциллятора, решение которого имеет
вид гармонической функции:
— заряд на конденсаторе в момент времени
.
— циклическая (круговая) собственная
частота колебаний.
Формула Томсона (Период и Частота)
Из уравнения колебаний
следует, что собственная циклическая
частота (
)
определяется коэффициентом при
:
Формула Томсона (1853 г.)
определяет период свободных незатухающих
колебаний (
)
в идеальном LC-контуре:
Вывод: Период собственных электромагнитных колебаний зависит только от индуктивности ( ) и ёмкости ( ) контура.
Затухающие Колебания (Реальный Контур)
В реальном колебательном контуре всегда присутствует активное сопротивление ( ).
Потери: Энергия расходуется на нагрев резистора (джоулево тепло), и колебания становятся затухающими.
Уравнение: Добавляется член, пропорциональный первой производной (скорости изменения тока):
Декремент затухания: Скорость затухания определяется коэффициентом затухания
.Режимы:
Колебательный режим: Если мало, ток и напряжение осциллируют, но амплитуда убывает по экспоненте.
Апериодический режим: Если велико (сопротивление больше критического
),
колебания не возникают, а ток просто
спадает до нуля.
Вот конспект по свободным затухающим колебаниям в колебательном контуре, а также по добротности и декременту затухания:
39. Свободные Затухающие Электромагнитные Колебания в Колебательном Контуре. Добротность. Декремент Затухания 📉 Свободные Затухающие Колебания
Свободные затухающие колебания — это колебания, возникающие в реальном колебательном контуре (RLC-контуре), который, помимо индуктивности и ёмкости , содержит активное сопротивление (сопротивление проводов и элементов).
Причина затухания: Наличие активного сопротивления приводит к рассеянию энергии (превращению электрической и магнитной энергии в тепло) по закону Джоуля-Ленца.
Уравнение колебаний: Уравнение для заряда на конденсаторе (или для тока ) является уравнением затухающего гармонического осциллятора:
Решение: Если сопротивление не превышает критического значения, заряд (и ток) изменяются по закону:
— Экспоненциальный множитель,
описывающий убывание амплитуды со
временем.