Волновые уравнения для электромагнитного поля. Поперечность электромагнитных волн. Плоские электромагнитные волны.
Волновые уравнения Максвелла — это дифференциальные уравнения в частных производных, которые описывают распространение электрического ( ) и магнитного ( ) полей в пространстве и времени.
Вывод в Вакууме
Для вакуума (или
свободного пространства) уравнения
Максвелла принимают наиболее простую
форму, так как плотность свободных
зарядов (
)
и токов проводимости (
)
равны нулю:
,
.
(с учётом тока смещения)
Беря ротор от Уравнения
III и подставляя в него
Уравнение IV (и используя
векторное тождество
,
а также Уравнение I,
),
получают волновое уравнение для
:
Аналогичная процедура, применённая к Уравнению IV, даёт волновое уравнение для :
Скорость Распространения
Эти уравнения имеют
стандартный вид волнового уравнения:
Отсюда следует, что электромагнитные
возмущения распространяются со скоростью
:
Численное значение этой
скорости совпадает со скоростью света
в вакууме:
.
2. Поперечность Электромагнитных Волн
Поперечность электромагнитных волн означает, что векторы напряжённости электрического поля ( ) и магнитной индукции ( ) колеблются в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.
Доказательство
Это свойство напрямую следует из уравнений Максвелла в вакууме:
Из Уравнения I ( ) следует, что в области, свободной от зарядов, нет составляющей , направленной вдоль вектора распространения
.
То есть,
перпендикулярен
.Из Уравнения II ( ) следует, что перпендикулярен .
Кроме того, из уравнений III и IV следует, что и также перпендикулярны друг другу и колеблются синфазно (одновременно достигают максимума и минимума). Векторы , и образуют правовинтовую систему.
3. Плоские Электромагнитные Волны
Плоская электромагнитная волна — это простейший тип волны, для которого волновой фронт (поверхность равных фаз) представляет собой плоскость.
В любой момент времени значения векторов и одинаковы во всех точках, лежащих в плоскости, перпендикулярной направлению распространения.
Если волна распространяется
вдоль оси
,
то векторы поля зависят только от
координаты
и времени
:
Где:
— циклическая частота.
— волновое число.
Амплитуды векторов и плоской волны связаны соотношением, которое определяет отношение их сил:
Плоские волны являются идеализацией, но хорошо описывают реальные ЭМВ (например, лазерный луч) на достаточно больших расстояниях от источника, где сферический фронт волны можно приблизить плоскостью.
Энергия электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга. Перенос энергии в замкнутой цепи постоянного тока.
Электромагнитные волны (ЭМВ) переносят энергию, которая распределена в пространстве между электрическим ( ) и магнитным ( ) полями.
1. Объемная Плотность Энергии ЭМВ ( )
Объемная плотность
энергии (
)
— это полная энергия, сосредоточенная
в единице объема пространства, где
существует ЭМВ. Она является суммой
плотностей электрической (
)
и магнитной (
)
энергий.
Плотность электрической
энергии:
(в вакууме)
Плотность магнитной
энергии:
(в вакууме)
В электромагнитной волне векторы и связаны соотношением , где . Подставляя это в формулу для :
Вывод: В электромагнитной
волне энергия равномерно распределена
между электрическим и магнитным полями
(
).
Следовательно, полная
объемная плотность энергии ЭМВ:
2. Вектор Пойнтинга ( )
Вектор Пойнтинга (или вектор плотности потока энергии) — это векторная величина, характеризующая направление и скорость переноса энергии электромагнитным полем.
Модуль вектора Пойнтинга численно равен энергии, переносимой ЭМВ за единицу времени через единицу площади, перпендикулярной направлению распространения.
Формула (в вакууме):
.
Вектор всегда направлен вдоль вектора скорости распространения волны .
Интенсивность (освещённость
для света) — это среднее по времени
значение модуля вектора Пойнтинга:
3. Перенос Энергии в Замкнутой Цепи Постоянного Тока
Хотя в курсе физики традиционно считается, что энергия течет по проводам вместе с электронами, в рамках классической электродинамики (Уравнения Максвелла) перенос энергии происходит вне проводника — в окружающем пространстве, где существует электромагнитное поле.
Поле в цепи:
Электрическое поле ( ): Возникает из-за разности потенциалов и направлено вдоль проводника (вдоль тока).
Магнитное поле ( ): Создается током и вихрем опоясывает проводник.
Вектор Пойнтинга в пространстве, окружающем проводник, направлен внутрь проводника и вдоль него (к источнику потребления).
Вывод: Энергия, необходимая для питания цепи, не течёт внутри проводника. Она покидает источник питания, распространяется в пространстве в виде электромагнитного поля и входит в проводник сбоку по всей его длине. Внутри проводника эта энергия преобразуется в тепло (на резисторах) или другие виды энергии.
Провода служат направляющими (волноводами), формирующими электромагнитное поле, которое переносит энергию.