4. Циркуляция вектора напряжённости электростатического поля. Потенциал электростатического поля.

Ц иркуляция (Γ_E​)

Циркуляцией вектора напряжённости E электростатического поля вдоль замкнутого контура L называется интеграл от вектора напряжённости по этому контуру:

Γ _E​=∮_L ​E⋅dl

Г де dl — элементарный вектор перемещения вдоль контура.

Теорема о циркуляции

Для любого электростатического поля (создаваемого неподвижными зарядами) циркуляция вектора напряжённости вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

∮ _{L ​}E⋅dl=0

Физический смысл:

1. Потенциальность поля: Равенство циркуляции нулю означает, что электростатическое поле является потенциальным (или консервативным). Это прямое следствие того, что кулоновская сила, как и гравитационная сила, является консервативной.

2. Независимость работы от траектории: Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда, не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек. При перемещении заряда по замкнутому контуру работа поля равна нулю.

Потенциал электростатического поля

Потенциальность электростатического поля позволяет ввести скалярную энергетическую характеристику — потенциал.

Потенциал (φ)

Потенциал электростатического поля в данной точке — это скалярная энергетическая величина, равная отношению потенциальной энергии W_p​ пробного заряда, помещённого в эту точку, к величине этого заряда q₀​:

φ= W_p/q_0​

Или, в другом определении: потенциал равен работе A, которую совершают силы поля при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность (где потенциал принимается за нуль):

φ= ​A_M→∞​​ / q₀

Единица измерения (СИ): Вольт (В), где 1 В=1 Дж/Кл.

Потенциал точечного заряда q:

φ= k*q/r​=(1/4πε₀)​​*q/r​

Потенциал является скалярной величиной и может быть как положительным (для +q), так и отрицательным (для −q).

Принцип суперпозиции для потенциала

Потенциал поля, созданного системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

φ_рез​=φ₁​+φ₂​+⋯+φ_n​=∑​φ_i​

Связь между напряжённостью (E) и потенциалом (φ)

Напряжённость поля является градиентом потенциала (то есть, показывает, как быстро и в каком направлении меняется потенциал):

E =−gradφ

Вдоль силовой линии потенциал убывает, а модуль напряжённости E численно равен максимальной скорости убывания потенциала:

E=−d_φ/d_l​

Разность потенциалов (Напряжение)

Разность потенциалов (или напряжение U) между двумя точками поля M_1​ и M₂​ равна работе, которую совершают силы поля при перемещении единичного положительного заряда из M₁​ в M₂​:

U_{(1 2)​}=φ₁​−φ₂​= A_{(1 2)} ​​/q₀​

Это соотношение является ключевым, поскольку на практике легче измерить разность потенциалов, чем напряжённость или заряды.

5. Связь напряжённости и потенциала электростатического поля. Эквипотенциальные поверхности. Разность потенциалов равномерно заряжённой бесконечной плоскости, двух бесконечных параллельных заряжённых плоскостей, равномерно заряжённой сферической поверхности, объёмно заряжённого шара, равномерно заряжённой бесконечной нити.

Связь напряжённости и потенциала

Напряжённость ( ) и потенциал ( ) — это две фундаментальные характеристики электростатического поля. Напряжённость является силовой (векторной) характеристикой, а потенциал — энергетической (скалярной).

Связь между ними выражается через понятие работы электростатического поля. Работа по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 равна:

В то же время, работа может быть выражена через напряжённость поля:

где — элементарное перемещение.

Из этих двух выражений следует ключевая связь: разность потенциалов ( ), также известная как напряжение ( ), связана с напряжённостью интегральным соотношением:

В дифференциальной форме эта связь выражается через оператор градиента:

Это означает, что вектор напряжённости в любой точке поля направлен в сторону наиболее быстрого убывания потенциала и численно равен этому убыванию (градиенту) со знаком минус.

Для однородного поля, где постоянно, формула упрощается:

где — расстояние между двумя точками вдоль силовой линии поля.

Эквипотенциальные поверхности

Эквипотенциальная поверхность — это геометрическое место точек в пространстве, в которых потенциал электростатического поля имеет одинаковое значение ( ).

Свойства эквипотенциальных поверхностей:

1. Работа поля равна нулю. При перемещении заряда вдоль эквипотенциальной поверхности работа электростатических сил равна нулю, так как разность потенциалов .

2. П ерпендикулярность силовым линиям. Вектор напряжённости (силовые линии) всегда перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям в точке их пересечения.

3. Густота поверхностей. Там, где эквипотенциальные поверхности расположены гуще, напряжённость поля выше.

4. Не пересекаются. Эквипотенциальные поверхности никогда не пересекаются, так как в одной точке пространства не может быть двух разных значений потенциала.

Разность потенциалов для различных конфигураций

Ниже приведены формулы для разности потенциалов (напряжения) между двумя точками в полях, созданных различными распределениями зарядов.

1. Равномерно заряжённая бесконечная плоскость

Поле такой плоскости однородно. Разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстояниях и от плоскости, равна:

где напряжённость поля ( — поверхностная плотность заряда, — электрическая постоянная).

2. Две бесконечные параллельные разноимённо заряжённые плоскости

Поле между такими плоскостями однородно (и равно нулю вне их). Разность потенциалов (напряжение) между плоскостями:

где — расстояние между плоскостями, а напряжённость .

3. Равномерно заряжённая сферическая поверхность (сфера радиусом )

• Внутри сферы ( ): Поле отсутствует ( ), поэтому потенциал во всех точках внутри сферы одинаков и равен потенциалу на её поверхности.

• Вне сферы ( ): Потенциал убывает с расстоянием, как у точечного заряда, помещённого в центр. где .

• Разность потенциалов между точками на расстояниях и (обе вне сферы):

4. Объёмно заряженный шар (радиусом )

• Внутри шара ( ):

• Вне шара ( ): Потенциал такой же, как у точечного заряда.

• Разность потенциалов между центром шара ( ) и его поверхностью ( ):

5. Равномерно заряжённая бесконечная нить

Разность потенциалов между двумя точками на расстояниях и от нити:

где — линейная плотность заряда. В этом случае нельзя выбрать нулевой потенциал на бесконечности, поэтому говорят только о разности потенциалов.

6. Типы диэлектриков. Понятие о поляризованности. Напряжённость поля в диэлектрике.

Типы диэлектриков

Диэлектрики — это вещества, которые в обычных условиях практически не проводят электрический ток. В отличие от проводников, в них нет свободных носителей заряда.

В зависимости от строения молекул, диэлектрики делятся на два основных типа:

1. Неполярные диэлектрики. Состоят из атомов или молекул, у которых в отсутствие внешнего электрического поля центры распределения положительных и отрицательных зарядов совпадают. Такие молекулы не имеют собственного дипольного момента.

• Примеры: инертные газы (He, Ne, Ar), водород (H₂), кислород (O₂), полиэтилен.

2. Полярные диэлектрики. Состоят из молекул, у которых центры распределения положительных и отрицательных зарядов смещены друг относительно друга. Такие молекулы представляют собой электрические диполи и имеют собственный дипольный момент ( ) даже в отсутствие внешнего поля.

• Примеры: вода (H₂O), аммиак (NH₃), ацетон.

• В обычном состоянии дипольные моменты молекул ориентированы хаотично, поэтому суммарный дипольный момент всего диэлектрика равен нулю.