Свободные гармонические электромагнитные колебания в колебательном контуре. Формула Томсона.
Колебательный контур — это простейшая электрическая цепь, состоящая из параллельно соединенных конденсатора ( ) и катушки индуктивности ( ).
Предназначен для создания и поддержания свободных (собственных) электромагнитных колебаний.
В механике LC-контур является аналогом маятника:
Конденсатор ( ): Накопитель электрической энергии (
).
Аналог пружины
(потенциальная энергия).Катушка ( ): Накопитель магнитной энергии ( ). Аналог массы (кинетическая энергия).
Свободные (Собственные) Колебания
Свободные колебания в идеальном LC-контуре — это процесс периодического взаимного превращения энергии электрического поля конденсатора ( ) в энергию магнитного поля катушки ( ) и обратно.
Идеальный контур: Активное сопротивление
,
т.е. нет потерь энергии. Колебания
в нём — незатухающие.Закон сохранения энергии: Полная энергия контура остаётся постоянной:
Уравнение Колебаний
Колебания описываются
законом сохранения заряда (или
вторым правилом Кирхгофа) в контуре.
ЭДС самоиндукции (
)
в катушке равна по величине напряжению
на конденсаторе (
):
Поскольку
и
,
получаем основное уравнение свободных
колебаний (дифференциальное уравнение):
Это уравнение гармонического
осциллятора, решение которого имеет
вид гармонической функции:
Где:
— заряд на конденсаторе в момент времени
.
— циклическая (круговая) собственная
частота колебаний.
Формула Томсона (Период и Частота)
Из уравнения колебаний
следует, что собственная циклическая
частота (
)
определяется коэффициентом при
:
Формула Томсона (1853
г.) определяет период свободных
незатухающих колебаний (
)
в идеальном LC-контуре:
Период собственных электромагнитных колебаний зависит только от индуктивности ( ) и ёмкости ( ) контура.
Затухающие Колебания (Реальный Контур)
В реальном колебательном контуре всегда присутствует активное сопротивление ( ).
Энергия расходуется на нагрев резистора (джоулево тепло), и колебания становятся затухающими (потери).
Добавляется член,
пропорциональный первой производной
(скорости изменения тока):
Скорость затухания
определяется коэффициентом затухания
.
Режимы:
Колебательный режим: Если мало, ток и напряжение осциллируют, но амплитуда убывает по экспоненте.
Апериодический режим: Если велико (сопротивление больше критического
),
колебания не возникают, а ток просто
спадает до нуля.
Свободные затухающие электромагнитные колебания в колебательном контуре. Добротность. Декремент затухания.
Свободные затухающие колебания — это колебания, возникающие в реальном колебательном контуре (RLC-контуре), который, помимо индуктивности и ёмкости , содержит активное сопротивление (сопротивление проводов и элементов).
Причина затухания: Наличие активного сопротивления приводит к рассеянию энергии (превращению электрической и магнитной энергии в тепло) по закону Джоуля-Ленца.
Уравнение колебаний: Уравнение для заряда на конденсаторе (или для тока ) является уравнением затухающего гармонического осциллятора:
Если сопротивление
не превышает критического значения,
заряд (и ток) изменяются по закону:
Где:
— Экспоненциальный множитель,
описывающий убывание амплитуды со
временем.
Характеристики затухания:
Коэффициент затухания ( ): Определяет скорость уменьшения амплитуды:
Частота затухающих колебаний (
):
Частота
в реальном контуре всегда ниже
собственной частоты
идеального контура.
Декремент Затухания
(
)
Декремент затухания — это безразмерная величина, которая характеризует степень затухания колебаний. Он показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда за один период .
Декремент равен отношению
амплитуды в данный момент времени (
)
к амплитуде через один период (
):
Логарифмический
декремент затухания (
):
Это натуральный логарифм декремента
затухания:
Связь с параметрами
контура:
также можно выразить через параметры
:
Чем больше , тем быстрее затухают колебания.
Добротность Контура ( )
Добротность контура — это безразмерная величина, которая характеризует качество контура, его способность сохранять энергию, или, другими словами, насколько слабо затухают в нём колебания.
Определение 1
(Энергетическое): Добротность
пропорциональна отношению полной
энергии (
),
запасённой в контуре, к энергии (
)
потерь за один период
:
Определение 2 (Через
параметры контура): Добротность
обратно пропорциональна коэффициенту
затухания и прямо пропорциональна
собственной частоте:
Связь с декрементом:
Добротность обратно связана с
логарифмическим декрементом затухания
:
Физический смысл:
Чем больше , тем меньше сопротивление , тем медленнее затухают колебания, и тем лучше контур.
Добротность показывает, во сколько раз запасённая реактивная мощность больше активной мощности потерь в контуре.
Для радиотехнических контуров обычно находится в диапазоне от 50 до нескольких сотен.