25. Циркуляция вектора индукции магнитного поля в вакууме. Магнитное поле соленоида и тороида.

1. Теорема о Циркуляции Вектора Магнитной Индукции в Вакууме

Циркуляция вектора магнитной индукции ( ) по замкнутому контуру — это интеграл:

Формулировка (Закон Ампера для магнитного поля): Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру ( ) в вакууме равна произведению магнитной постоянной ( ) на алгебраическую сумму токов ( ), охватываемых этим контуром.

Направление тока считается положительным, если оно связано с выбранным направлением обхода контура по правилу правого буравчика.

Эта теорема является интегральной формой основного закона магнитостатики и позволяет легко рассчитать магнитную индукцию для полей, обладающих высокой симметрией (как в случае соленоида и тороида).

2. Магнитное Поле Бесконечного Соленоида

Соленоид — это катушка, состоящая из большого числа витков проводника, намотанных на цилиндрическую поверхность.

Идеальный соленоид считается бесконечно длинным, а витки — плотно прилегающими.

Расчёт по теореме о циркуляции:

1. Выбираем прямоугольный замкнутый контур . Две стороны параллельны оси соленоида (внутри и снаружи). Две стороны перпендикулярны оси.

2. 2. Из симметрии поля: Магнитное поле сосредоточено внутри соленоида и однородно, а вне соленоида .

3. 3. Циркуляция по замкнутому контуру сводится к интегралу по отрезку , находящемуся внутри соленоида:

4. 4. Суммарный ток, охватываемый контуром, равен произведению тока в одном витке на число витков на длине . Пусть — число витков на единицу длины. Тогда . 5. Приравнивая выражения: .

Магнитная индукция внутри соленоида:

Где: — линейная плотность намотки (число витков на единицу длины, ). — сила тока. Поле однородно внутри соленоида и зависит только от плотности намотки и тока.

3. Магнитное Поле Тороида

Тороид — это соленоид, изогнутый в кольцо (замкнутый соленоид).

Магнитное поле полностью замкнуто внутри тороида и равно нулю вне его. Силовые линии представляют собой концентрические окружности внутри тороида.

Расчёт по теореме о циркуляции:

1. Выбираем замкнутый контур в виде окружности радиусом внутри тороида, совпадающий с силовой линией.

2. Из симметрии постоянно на контуре и направлено по касательной:

3. Суммарный ток равен произведению тока на общее число витков (так как контур охватывает все витки):

4. Приравнивая выражения: .

Магнитная индукция внутри тороида (на среднем радиусе ):

Где — число витков на единицу длины окружности тороида.

Поле внутри тороида однородно, как и внутри соленоида.

Поле вне тороида: , поэтому .