Уравнение Пуассона
Известно, что
и
,
т.е.
.
При этом
– уравнение Пуассона (записывается
также как
).
Уравнение Лапласа – частный случай
уравнения Пуассона:
(т.е.
).
Математически доказано, что решение
уравнения Пуассона единственно.
Основная задача электростатики: задано расположение и форма всех проводников. Требуется найти решение уравнения Пуассона такое, чтобы принимало заданные значения на поверхности проводников.
Исходя из того, что решение уравнения Лапласа единственно, система проводников, создающая данную конфигурацию поля, заменяется на другую систему, краевые условия для которой такие же, но распределение потенциала которой может быть легко найдено. Тогда в силу единственности решения уравнения Лапласа полученная функция будет решением для исходной задачи.
Электроёмкость – свойство
проводников накапливать заряд.
– ёмкость проводника. 1 Фарад – ёмкость
такого проводника, потенциал которого
возрастает на 1 В при сообщении ему
заряда в 1 Кл.
Для шара
.Для плоского конденсатора
,
где d – расстояние
между пластинами, и
.Для двух коаксиальных цилиндра радиусами
и
,
длиной l и зарядом q:
.Для двух концентрических сфер:
.
Теорема Ирншоу: Система неподвижных точек, взаимодействующих между собой по закону обратных квадратов не может находится в состоянии устойчивого равновесия.
Диэлектрики
Полярная молекула – это молекула, у которой центры тяжести положительного и отрицательного зарядов не совпадают.
Если неполярную молекулу поместить в
поле, то она получит дипольный момент:
.
Диэлектрик, помещённый в электрическое поле, приобретает дипольный момент.
Поляризованность диэлектрика
– средний дипольный момент единицы
объёма диэлектрика:
,
где
– дипольный момент молекул в объёме
,
где n – концентрация
молекул. Т.к.
,
то
,
где
– напряжённость поля внутри диэлектрика,
– диэлектрическая восприимчивость.
Поле внутри диэлектрика
,
где
– внешнее поле,
– поле диполей внутри диэлектрика.
Нескомпенсированный заряд, возникший в результате поляризации диэлектрика, называется связанным, а свободный заряд – сторонним.
Н
ескомпенсированный
объёмный заряд возникает, например, при
поляризации неоднородного диэлектрика.
Т
еорема
Гаусса для вектора поляризации:
Возьмём маленький кусочек диэлектрика.
Количество молекул, которые пересекают
площадку при создании поля:
.
Тогда полный заряд, вынесенный из объёма,
ограничивающего поверхность S
будет
,
следовательно,
(заряд, связанный внутри). Пусть
– плотность связанного заряда. Тогда
.
По теореме Остроградского-Гаусса
,
т.е.
– дифференциальная форма теоремы Гаусса
для вектора поляризации.
То, что
верно для однородных изотропных
диэлектриков (вообще это тензор). У
сегнетоэлектриков эта зависимость не
выполняется, так как у них поляризованность
зависит не только от того, какое поле в
данный момент, но и от того, какое оно
было до этого.
Из теоремы Гаусса следует, что
,
при этом
,
следовательно,
и
.
В отсутствии стороннего заряда в
однородном диэлектрике объёмная
плотность связанного заряда равна 0.
П
осчитаем
поток
через цилиндр:
,
где
– поток через боковую поверхность
цилиндра.
.
При сжатии цилиндра поток через боковую
поверхность
,
следовательно,
.
Если вторая среда – вакуум, то
и
