Глава 1. Электрические цепи постоянного тока

7. Методы Расчета: Метод Контурных Токов

Метод контурных токов (МКТ) — это один из наиболее эффективных методов расчёта сложных линейных электрических цепей. Он является модификацией Второго закона Кирхгофа и позволяет существенно сократить количество уравнений в системе по сравнению с полным методом Кирхгофа.

А. Сущность Метода

В основе метода лежит введение фиктивных контурных токов ( ), которые циркулируют только внутри независимых замкнутых контуров (ячеек) схемы.

1. Фиктивный ток: Контурный ток ( ) течет по замкнутому контуру и не прерывается в узлах.

2. Реальный ток: Ток в любой ветви ( ) определяется как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих через эту ветвь.

Преимущество: Количество уравнений в системе равно числу независимых контуров ( ), которое всегда меньше, чем число ветвей ( ).

Б. Алгоритм Расчета Шаг 1. Подготовка схемы

1. Определить число независимых контуров ( ).

2. Назначить фиктивные контурные токи ( ) в каждом независимом контуре. Для простоты расчёта обычно все направления выбирают одинаковыми (например, по часовой стрелке).

3. Обозначить сопротивления ветвей ( ) и ЭДС ( ).

Шаг 2. Составление системы уравнений

Для каждого независимого контура записывается уравнение на основе Второго закона Кирхгофа, но с учётом контурных токов.

Общий вид уравнения для -го контура:

Где:

1. Собственное сопротивление контура ( ): Сумма всех сопротивлений, входящих в -й контур. Всегда берется со знаком плюс (+).

2. Взаимное сопротивление ( ): Сопротивление ветви, которая является общей для -го и -го контуров.

• Берется со знаком минус (-), если контурные токи и в общем участке текут навстречу друг другу.

• Берется со знаком плюс (+), если токи совпадают по направлению (редкий случай, обычно в МКТ все токи выбирают в одном направлении).

3. Суммарная ЭДС контура ( ): Алгебраическая сумма всех ЭДС, входящих в -й контур. Знак "+" ставится, если ЭДС направлена по направлению .

Шаг 3. Решение и определение токов

1. Решить полученную систему уравнений относительно контурных токов ( ).

2. Определить реальные токи ветвей:

• Если ветвь входит только в один контур: .

• Если ветвь является общей для двух контуров ( и ): (Знак "+" или "-" зависит от того, совпадают ли направления и в этой ветви).

В. Преимущества

Метод Контурных Токов	Метод Уравнений Кирхгофа
Меньше уравнений: Система уравнений содержит только неизвестных токов.	Больше уравнений: Система содержит неизвестных токов.
Систематизированность: Уравнения записываются по единому алгоритму (через собственное и взаимное сопротивления), что упрощает автоматизацию расчёта (например, в матричном виде).	Сложность составления: Необходимо отдельно составлять уравнения для узлов и для контуров, строго следя за их независимостью.

8

Глава 1. Электрические цепи постоянного тока

8. Методы Расчета: Метод Двух Узлов (Метод Узловых Потенциалов)

Метод двух узлов (или Метод узловых потенциалов — МУП) является мощным способом расчёта сложных электрических цепей, имеющих только два узла. Он позволяет заменить систему уравнений токов и напряжений всего одним уравнением, выраженным через напряжения (потенциалы) узлов.

А. Принцип Метода

Метод основан на определении потенциалов всех узлов схемы относительно одного выбранного базового (нулевого) узла, потенциал которого принимается за ноль ( ).

В простейшем случае, когда в схеме всего два узла (Узел 1 и Узел 2), метод сводится к нахождению потенциала только одного узла ( ) относительно второго (нулевого) узла ( ).

1. Основные понятия

• Узел: Точка соединения трёх и более ветвей.

• Базовый (Нулевой) Узел: Один из узлов, потенциал которого принимается равным нулю ( ).

• Узловое напряжение ( ): Потенциал -го узла относительно базового.

• Проводимость ветви ( ): Величина, обратная сопротивлению ( ).

2. Уравнение узла (по 1-му Закону Кирхгофа)

Для цепи с двумя узлами (Узел 1 с потенциалом и Узел 2 с ) уравнение по 1-му закону Кирхгофа для Узла 1 записывается в следующем виде:

Где:

1. Сумма проводимостей узла ( ): Сумма проводимостей всех ветвей, присоединённых к Узлу 1.

2. Узловой ток ( ): Алгебраическая сумма токов, генерируемых источниками ЭДС, присоединенными к Узлу 1.

Б. Алгоритм Расчета (для двух узлов)

Шаг 1. Подготовка и Преобразование

1. Определить два узла цепи (Узел 1 и Узел 2).

2. Выбрать один из узлов в качестве базового (нулевого). Пусть .

3. Преобразовать все источники напряжения ( ) с последовательно включенными резисторами ( ) в эквивалентные источники тока ( ) с параллельно включенной проводимостью ( ): (Ветвь, содержащая только резистор, имеет . Ветвь, содержащая только ЭДС, имеет , что является идеализацией и усложняет расчет, поэтому МУП удобнее применять к преобразованной схеме с источниками тока).