11. Использование моделирования Монте-Карло в расчетах надежности.
Моделирование методом Монте-Карло используется для оценки надёжности сложных систем. Метод заключается в создании вероятностной модели изучаемого процесса и многократном получении реализаций случайной величины, его характеризующей. Математическое ожидание этих реализаций является искомым значением.
Некоторые преимущества моделирования методом Монте-Карло:
отсутствуют ограничения на вид функций распределения продолжительностей отказа, ремонта и т. п.;
легко ввести зависимости между событиями отказа, ремонта и др.;
аналитические вычисления для этого метода весьма просты (за исключением анализа условий отказа);
легко можно получить нестационарное решение;
в расчётах легко учесть изменения в структуре системы.
Основной недостаток метода Монте-Карло состоит в том, что для большинства задач требуется большое число испытаний. В результате этого затраты машинного времени на моделирование могут оказаться чрезвычайно большими, в особенности если в ходе вычислений встречается большое количество различных состояний системы, требующих сложного анализа условий отказа.
Метод Монте-Карло даёт:
результаты, близкие к результатам, полученным аналитическим методом;
дополнительную информацию, относительно колебания показателей надёжности;
позволяет найти функцию достоверности распределения показателей надёжности системы.
С помощью метода Монте-Карло борются с отказами системы следующим образом:
Формируют ряд случайных чисел в интервале от 0 до 1.
Для каждого элемента испытываемой системы в соответствии со случайным числом по функции распределения вероятности отказа определяют соответствующее время реализации отказа.
В соответствии со схемой соединения элементов анализируют возможные изменения в структуре системы. Например, для системы раздельного резервирования отказ не всегда приводит к выходу подсистемы из строя, а в системе общего резервирования отказ подсистемы гарантирован.
Для случаев экспериментальной реализации отказов системы за типовой период фиксируют время отказа системы. По зафиксированным временам строят экспериментальную функцию вероятности отказа сложной резервированной функциональной системы.
Шаги 1 и 3 повторяют большое количество раз до фиксации 200–300 отказов системы.
12. Примеры использования диаграммы вероятностей перехода в (t, t+dt) используются для представления поведения однородных по времени марковских процессов.
лол
13. Сравните и противопоставьте марковские процессы и полумарковские процессы с точки зрения их допущений, возможностей моделирования.
С лекции, на которой он разбирал вопросы:
Расшифровка:
Марковский процесс - процесс, для которого выполняется марковское свойство.
Марковское свойство: P (S3 | S1, S2, …) = P (S3 | S2)
(для того чтобы узнать вероятность S3, то можно знать только S2.)
У марковских процессов нет памяти (память есть только в двух соседних состояниях)
Сбои элементов системы соответствуют марковскому свойству (т.к. сбои элементов независимы)
Если сбои элементов влияют друг на друга, то это уже полумарковские процессы.
Переход между состояниями определяется вероятностью сбоя конкретного элемента, которая распределена по экспоненциальному закону (описывается одним параметром - лямбда (интенсивность отказа))
Плюсы марковских процессов:
ВБР (вероятность безотказной работы), ВО (вероятность отказа)
Время в состоянии (среднее)
MTTF
(это все можно посчитать)
Сходства:
Дискретные состояния: Оба типа процессов предполагают наличие конечного или счетного множества дискретных состояний, через которые проходит система.
Вероятностный характер: Переходы между состояниями происходят случайно, согласно заданным вероятностям.
Из инета:
Марковский процесс – это стохастический процесс, в котором будущее состояние системы зависит только от текущего состояния, а не от всей предыстории процесса. Это свойство называется марковской зависимостью. Формально говоря, вероятность перехода из одного состояния в другое в момент времени $ t $ зависит лишь от состояния в момент $ t $, а не от того, каким образом система пришла к этому состоянию.
Допущения:
1. Независимость от прошлого: Будущее поведение процесса определяется исключительно текущим состоянием, без учета предыдущих состояний.
2. Постоянство переходных вероятностей: Вероятность перехода между двумя состояниями остается постоянной независимо от момента времени.
Пример: Модель цепи Маркова может использоваться для описания поведения погоды, где каждый день является одним из возможных состояний (солнечно, дождливо, облачно), и вероятность следующего дня зависит только от сегодняшнего состояния.
Преимущества:
- Простота анализа благодаря независимости от истории.
- Возможность использования математического аппарата теории цепей Маркова для предсказания будущих состояний.
Недостатки:
- Ограниченность при моделировании сложных систем, где будущие события могут зависеть от более длинной последовательности прошлых событий.
Полумарковский процесс (Semi-Markov process) – это обобщение марковского процесса, в котором продолжительность пребывания в каждом состоянии также играет роль. В отличие от марковского процесса, вероятность перехода в следующее состояние зависит не только от текущего состояния, но и от времени, проведенного в этом состоянии.
Допущения:
1. Зависимость от времени пребывания в текущем состоянии: Вероятность перехода в новое состояние зависит от того, сколько времени система провела в текущем состоянии.
2. Переходы зависят от предыдущего состояния: Вероятность перехода зависит от текущего состояния, аналогично марковскому процессу.
Пример: Полумарковская модель может применяться для моделирования очереди обслуживания клиентов, где время ожидания до начала обслуживания клиента влияет на то, когда он покинет систему.
Преимущества:
- Более гибкий подход к моделированию временных аспектов системы.
- Учитывает длительность пребывания в состояниях, что делает модели более реалистичными для многих практических задач.
Недостатки:
- Сложнее анализировать и вычислять вероятности переходов по сравнению с марковскими процессами.
- Требует больше данных для построения моделей.