МИФИ_Вычметоды КФ

Получаем одинарную сумму, так как оператор импульса в базисе плоских волн диагонален. Аналогично, оператор кинетической энергии имеет вид

В случае наличия внешнего поля, например в ситуации, когда заряженная частица находится во внешнем статическом

кулоновском поле V = e2 , имеем r

Здесь уже будут присутствовать недиагональные слагаемые, описывающие изменение состояния частицы при взаимодействии с внешним полем.

Для расчета матричного элемента можно представить кулоновский потенциал в виде

81

[Ψ(x), Ψ + (x′)] = δ(x − x′).

Соотношение (4.97) определяет необходимую коммутацию (для случая ферми-частиц коммутатор превращается в антикоммутатор)

величин Ψ, Ψ + . Это и есть полевые операторы, определяющие квантовое поле рассматриваемой системы. Можно разложить величины Ψ, Ψ + по полному набору функций одночастичного состояния в стандартном шредингеровском представлении φk (x) ,

Ψ + (x) = ∑ak+φ*k (x).

k

Здесь ak , ak+ – коэффициенты разложения, играющие роль

операторов рождения и уничтожения соответствующих состояний k. Несложно показать, что они удовлетворяют стандартным соотношениям коммутации (или антикоммутации), введенным ранее для операторов в представлении чисел заполнения.

Получается, что с вводом квантовых чисел k вводится также дополнительное квантование исходной волновой функции. Отсюда и происходит название всего метода вторичного квантования.

Учтем теперь взаимодействие частиц. Любая физическая величина, соответствующая одночастичному оператору A, записывается в виде

85

что совпадает с ранее полученным результатом в представлении чисел заполнения.

Для двухчастичного оператора следует написать произведение плотностей вероятности под знаком суммирования по степеням свободы:

Это соотношение также после подстановки разложения (4.98) приводит к правильному ответу:

86

5.Модели сильнокоррелированных систем. Статистика Ферми

5.1.Модель сильной связи

Втвердом теле электрон ведет себя как квазичастица: в отсутствие примесей он не рассеивается на кристаллической решетке, имеет определенный квазиимпульс (не являющийся собственным числом оператора импульса), закон дисперсии, отличный от закона

имеет определенной координаты («размазан» по кристаллу).

Волновая функция электрона в кристалле все же имеет максимумы вблизи ионного остова и близка к атомной волновой функции локализованного на соответствующей орбитали электрона. Вдали от иона волновая функция электрона асимптотически переходит в плоскую волну, соответствующую свободному движению. Такие функции φ(r) называются функциями Ваннье [4].

Рассмотрим идеальный, без дефектов и примесей, кристалл в приближении сильной связи. Пусть сначала атомы решетки находятся на большом расстоянии друг от друга, и электроны полностью локализованы каждый на своем узле. Будем учитывать только валентные электроны на верхних орбиталях, и рассмотрим простой уровень с двумя электронами, один электрон со спином вверх и другой – со спином вниз. Затем попытаемся "построить" из уединенных ионов кристалл, приближая их друг к другу. При достаточно близком расстоянии (обычно это расстояние порядка

боровского радиуса aB = h22 – радиуса орбиты электрона вокруг me

ядра атома водорода), атомы начинают взаимодействовать и образуют кристаллическую решетку, как правило, за счет перекрытия электронных орбиталей и образования связей различного вида: ионной, ковалентной, молекулярной,

87

металлической и т.д. Нас будет интересовать, в первую очередь, то, что происходит при этом с электронными состояниями, прежде локализованными у своих атомов, так как на расстоянии порядка боровского радиуса электроны начинают чувствовать соседние атомы и слабо туннелировать от одного атома к другому (обычно

это ближайший сосед) с вероятностью t(ri − rj ) = tij (ri ,rj –

координаты атомов). Волновая функция таких слабо делокализованных электронов имеет все еще хорошо выраженный максимум в местах положения узлов решетки (рис. 5.1), поэтому хорошим квантовым числом в приближении сильной связи электрона с узлом является номер узла i.

Рис. 5.1. Атомы кристаллической решетки создают периодический потенциал U; волновая функция имеет хорошо выраженные максимумы вблизи узлов решетки

коэффициенты разложения в шредингеровской волновой функции, Ψσ (r) = ∑aiσφi(r),

то они означают именно "рождение" или "уничтожение" электронов в состояниях φi – полном наборе узельных одночастичных функций

электрона – функциях Ваннье, совпадающих, как уже отмечалось, с локализованными функциями электрона на орбитали атома вблизи атома, и с плоскими волнами вдали от него. Функции φi образуют

полный ортонормированный базис, на основе которого можно

88

провести процедуру вторичного квантования, аналогично тому, как ранее для этой цели был использован базис плоских волн.

Гамильтониан системы, выраженный через операторы рождения и уничтожения, запишется следующим образом:

"затравочную" энергию электронов, локализованных на узлах с

на энергию электронного уровня ε0 в атоме. Второй член

гамильтониана (кинетическая энергия) описывает туннелирование (или перескоки) электронов на соседние узлы с амплитудой tij и

сохранением проекции спина (рис. 5.2). Эта амплитуда, согласно формализму вторичного квантования, является матричным элементом оператора кинетической энергии:

Рис. 5.2. Матричные элементы потенциальной и кинетической энергий для гамильтониана (5.2) в случае системы из 3 узлов и 3 электронов

Следует отметить, что функции φi экспоненциально затухают на

больших расстояниях. Это означает, что амплитуда перескока фактически пропорциональна перекрытию волновых функций на соседних узлах решетки и зависит от координат следующим образом:

89

электрона. Таким образом, в дальнейшем в большинстве случаев можно использовать приближение ближайших соседей и полагать, что электроны передвигаются только на соседние атомы.

5.2. Гамильтонова матрица и базис для модели сильной связи

Обсудим теперь вопрос, как для электронов в небольшом кластере, состоящем из 5-20 узлов кристаллической решетки, описываемых моделью сильной связи, построить гамильтонову матрицу. Для этого надо воспользоваться правилами действия операторов рождения и уничтожения на узельный базис.

Сначала определим процедуру формирования узельного базиса – фоковского пространства состояний. Вопрос перебора состояний – нетривиальный. Дело в том, что количество состояний в базисе очень быстро растет с размером системы1, поэтому очень важным становится вопрос о поиске номера необходимого состояния при формировании гамильтоновой матрицы. Для этого требуется сразу формировать базис, упорядоченный по числам заполнения, в котором можно организовать эффективную процедуру поиска нужного состояния, например, методом деления отрезка пополам. Один из возможных алгоритмов формирования узельного базиса приведен в примере 5.1.

90