МИФИ_Вычметоды КФ

Последнее соотношение можно представить как скалярное произведение сопряженного одночастичного состояния 0 ak′′′ и

состояния, полученного действием двух операторов рождения и одного оператора уничтожения на вакуумную функцию (в результате чего также получается одночастичное состояние). Тогда последнее соотношение – это просто условие ортонормированности этих двух одночастичных состояний. Следовательно, состояние, полученное действием двух операторов рождения и одного оператора уничтожения, может быть записано в следующем виде:

так как только в этом случае справедливо предыдущее соотношение ортогональности.

Таким образом, оператор уничтожения ak можно рассматривать

либо как оператор рождения, действующий на левый вакуумный вектор, либо как оператор уничтожения, действующий на правый вакуумный вектор. При действии на левый вакуумный вектор этот оператор увеличивает полное число частиц в системе на единицу, при действии на правый вакуумный вектор он уменьшает это число на единицу. Отсюда следует, что действие этого оператора на правое вакуумное состояние должно давать нуль, так как нельзя уменьшить число частиц в состоянии, где их нет:

Добавим для дальнейшего рассмотрения условие ортонормированности одночастичных состояний

Рассмотрим теперь коммутационные соотношения. Для операторов рождения мы уже их имеем. Применяя к (4.54) операцию комплексного сопряжения, находим коммутационные соотношения для операторов уничтожения:

71

Наиболее интересны коммутационные соотношения между одним оператором уничтожения и одним оператором рождения. Из предыдущих соотношений получаем:

Из этих формул пока нельзя написать общие коммутационные соотношения, так как они должны быть одинаковы при действии не только на вакуумную функцию, но и на произвольное состояние.

верхний знак соответствует бозонам, нижний – фермионам. Для того, чтобы коммутационные соотношения и для этого одночастичного состояния, и для предыдущего вакуумного были одинаковы и не зависели от квантовых чисел, следует положить

Nk′k′ = 0 для фермионов. Физически для фермионов это и означает

запрет Паули – они не могут занимать одно и то же квантовое состояние. Для бозонов, наоборот, увеличение константы приводит к тому, что они будут стремиться занять одно квантовое состояние.

Окончательно правила коммутации и антикоммутации для бозонных и фермионных операторов принимают вид:

ak′ak+′′ m ak+′′ak′ = δk′k′′ .

Верхний знак соответствует бозонам, нижний – фермионам.

Состояния системы с тремя и более тождественными частицами получаются в результате действия соответствующего числа операторов рождения на вакуумное состояние. Все свойства этих состояний вытекают из коммутационных соотношений (4.66), которые остаются для них справедливыми.

72

4.3.3. Базис в представлении чисел заполнения. Действие операторов на волновые функции из этого базиса в случае статистики Ферми

Рассмотрим систему частиц с ферми-статистикой, т.е. будем полагать, что на одном узле пространственной решетки может быть не более одной частицы (принцип Паули). Пока не будем обсуждать проблему частиц со спином, так как это несколько усложняет рассмотрение, не меняя его принципиально.

Для сильнокоррелированных систем, какими являются вещества с узкими зонами (в этих веществах велика степень локализации электрона около ионного остова), можно ввести хорошее квантовое число – заполнение на узлах кристаллической решетки. В дальнейшем будут рассмотрены модели именно таких систем.

Пусть, для определенности, имеется 3 частицы на 6 узлах, тогда узельный базис в числах заполнения следует выбрать таким:

Φ1 = 000111; Φ2 = 001011; Φ3 = 001101; Φ4 = 001110; Φ5 = 010011; Φ6 = 010101; Φ7 = 010110; Φ8 = 011001;

все возможные конфигурации распределения частиц по узлам с

учетом тождественности частиц. Процедура построения

упорядоченного базиса вида (4.69) будет обсуждаться далее; см. также гл. 2.

Проблема тождественности частиц уже обсуждалась выше, однако здесь уместно вернуться к ней в контексте конкретной задачи. Пусть в системе имеются всего две частицы, тогда состояния системы, получающиеся друг из друга перестановкой обеих частиц,

74

должны быть физически полностью эквивалентны, из чего следует, что Ψ(1,2) 2 = Ψ(2,1) 2 . Это значит, что в результате такой перестановки волновая функция системы может измениться только на фазовый множитель: Ψ(1,2) = eiα Ψ(2,1) , где α – некоторая вещественная постоянная. Повторная перестановка с необходимостью приводит к условию e2iα = 1 , т.е. Ψ(1,2) = ±Ψ(2,1).

Существует, таким образом, всего две возможности: волновая функция либо симметрична (это статистика Бозе – Эйнштейна), либо антисимметрична (это статистика Ферми – Дирака) при перестановке любой пары частиц. Этот же результат был получен ранее напрямую при изучении двухчастичного состояния в формализме вторичного квантования.

Таким образом, в нашей конкретной задаче из всех функций, отличающихся друг от друга только перестановкой частиц, т.е. фазовым множителе (например, Φ(4,6,5), Φ(5,4,6), Φ(5,6,4),

Φ(6,4,5), Φ(6,5,4) , Φ(4,5,6) ), в фоковском базисе нужно оставить только одну функцию, например функцию Φ(4,5,6) = 000111 , а

все остальные не рассматривать. Разумеется, если частица всего одна (как в одночастичной задаче во внешнем поле), то проблем с тождественностью и симметрией нет, но тогда и нет смысла вводить формализм вторичного квантования.

Получившиеся узельные многочастичные функции являются ортонормированными, при этом понимается, что скалярное

произведение двух функций равно нулю, если состояние хотя бы одного узла в одной функции отличается от аналогичного состояния другой функции.

После формирования фоковского базиса необходимо определить правила действия операторов физических величин на базисные волновые функции с учетом принципа тождественности. Для этой цели и служат рассмотренные ранее операторы рождения и

уничтожения числа частиц ai и ai+ (только теперь состояния

определяются не числом частиц с импульсом k, а числом частиц на узле i) по следующим правилам:

75

Таким образом, оператор уничтожения ai переводит состояние «1» узла i в состояние «0», а оператор рождения ai+ – наоборот. При

этом если на узле i уже было состояние «0», т.е. частиц на этом узле не было и уничтожать нечего, то при действии оператора ai

на это состояние получаем нуль, т.е. такой волновой функции не существует. Аналогично, если на узле i было максимальное

заполнение, т.е. ni = 1 , то действие оператора рождения ai+ также даст нуль.

Кроме указанных правил действия на волновые функции операторов рождения и уничтожения, необходимо также учесть антисимметрию волновых функций системы из ферми-частиц.

Пронумеруем узлы системы по порядку. Как уже говорилось, любую базисную функцию можно получить при помощи последовательного действия операторов рождения на вакуумную функцию 000...00 ,

например:

001000 = a3+ 000000;

101010 = a1+a3+a5+ 000000.

При этом необходимо выписывать операторы рождения строго по порядку номеров и действовать ими последовательно на функцию, начиная справа.

Теперь, действуя на антисимметричные волновые функции операторами рождения и уничтожения, учтем упорядочение операторов, например:

76

a+4 001000 = a+4a3+ 000000 = −a3+a+4 000000 = − 001100;

a3+ 101010 = a3+ a1+a3+a5+ 000000 = −a1+a3+ a3+a5+ 000000 ≡ 0;(4.72) a3 101010 = a3a1+ a3+a5+ 000000 = −a1+a3a3+a5+ 000000 = − 100010.

Согласно показанным выше примерам, необходимо оператор, действующий на функцию, перемещать, попарно обменивая его с другими операторами с изменением знака при каждом обмене, пока он не займет нужное место в соответствии с упорядочением по номерам узлов. Обращаем внимание на последний из трех примеров – когда оператор уничтожения "добрался" до своего места (узла 3), там уже был оператор рождения. Тогда, согласно правилам действия операторов, сначала оператор рождения увеличит на единицу заполнение узла, а затем оператор уничтожения вернет узел к исходному состоянию. Таким образом, после упорядочения операторов следует последовательно действовать операторами на волновую функцию, начиная от самого правого оператора.

Формально все перечисленные примеры можно суммировать с помощью антикоммутационных соотношений:

Эти соотношения надо понимать именно в смысле действия их на волновые функции, например:

Приведенные антикоммутационные соотношения полностью совпадают с выведенными ранее соотношениями для фермиоператоров в импульсном базисе, так как относительно канонических преобразований при переходе от одного базиса к другому они инвариантны.

77

Особо следует отметить оператор ni = ai+ ai , который действует на

волновые функции следующим образом (рассмотрим, например, волновую функцию Φ = 0101... ):

a2+a2Φ = a2+a2 0101... = 1 a2+ 0001... = 1 1 0101... =

a3+a3Φ = a3+a3 0101... = (1− a3a3+ ) 0101... = (1−1) 0101... = = 0 0101... = 0 Φ ≡ 0.

Таким образом, собственные числа оператора ni = ai+ ai совпадают с числом частиц на узле i. Оператор ni называется оператором числа частиц.

Если мы имеем в системе электроны со спином, то для каждой проекции спина справедливы перечисленные выше правила, и волновые функции базиса будут иметь следующий составной вид:

101010,100100 = a1+↑a3+↑a5+↑a1+↓a+4↓ 000000,000000.

Обычно группируют сначала все числа заполнения с одним спином, затем с другим, и потом в процессе расчета придерживаются этого упорядочения. Теперь для каждого оператора рождения и уничтожения имеется пара квантовых чисел – номер узла и проекция спина σ . Соотношения антикоммутации имеют

спином вверх и N ↓ электронов со спином вниз, то размерность базиса будет R = CNNa↑CNNa↓ .

78

Всего сказанного выше достаточно для численной формализации квантовых задач, особенности бозе-статистики и спиновых операторов будут обсуждаться ниже при рассмотрении соответствующих моделей.

Прежде чем рассмотреть конкретные модели физики конденсированных сред, обсудим, как можно переписать операторы физических величин в представлении чисел заполнения.

4.3.4.Операторы физических величин

Рассмотрим сначала операторы, действующие на одночастичные состояния (например, оператор импульса, оператор числа частиц и т.п.). Пусть известно, как действует некоторый линейный оператор A на одночастичные волновые функции k в шредингеровском

представлении. Такой оператор полностью определяется своей матрицей или совокупностью матричных элементов в полном базисе одночастичных состояний. Тогда на произвольный вектор ξ оператор A действует следующим образом:

= ∑ k′′Ak′′k′ k′ ξ.

k′,k′′

В(4.78) результат действия оператора A на вектор ξ выражен через известные матричные элементы Ak′′k′ .

79

Воспользовавшись соотношением ak'ak+'' 0 = δk'k'' 0 , получаем:

Следовательно, оператор A в формализме вторичного квантования имеет вид

Это соотношение показывает, что оператор A является суммой операторов, каждый из которых уничтожает частицу в состоянии k′ и рождает в состоянии k′′ с амплитудой, пропорциональной соответствующему матричному элементу оператора между одночастичными состояниями k′′ A k′ .

Сумму (4.82) часто представляют в виде диаграмм Фейнмана (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Фейнмановская диаграмма для (4.82). Под действием оператора A частица из состояния k′ переходит в состояние k′′ . q = k′′ − k′

Если рассматриваются многочастичные состояния (две и более частицы), то справедливость последнего соотношения также можно показать, только теперь матричный элемент вычисляется между соответствующими одночастичными состояниями

многочастичных функций.

Рассмотрим далее конкретные примеры одночастичных операторов.

80