МИФИ_Вычметоды КФ

силами, т.е. в поле упругих волн – звуковых колебаний, а затем перейти в непрерывный предел.

Рассмотрим одномерную периодическую систему с периодом a из одинаковых атомов массы M, соединенных пружинами с одинаковой жесткостью k (рис. 4.1).

Напишем уравнение движения для такой системы. Для этого пронумеруем все атомы и рассмотрим уравнение Ньютона для n-го атома. На него действуют упругие силы со стороны (n − 1) -го атома,

направленные влево, и со стороны (n + 1) -го атома, направленные вправо.

Рис. 4.1. Периодическая система атомов массы M, соединенных одинаковыми пружинами с жесткостью k

Если обозначить смещение атома из положения равновесия как Un ,

то

MU&&n = −k(Un − Un−1) + k(Un+1 − Un ) = k(Un+1 + Un−1 − 2Un). (4.26)

Перейдем теперь к непрерывному пределу, устремляя период a к нулю, и разложим смещение в ряд до второго порядка по a:

Тогда уравнение движения приобретает привычный вид волнового уравнения:

61

Введем линейную плотность ρ = Ma и модуль упругости G = ka , тогда

Квадрат скорости звука при этом определяется как c2 = Gρ . Имеем,

таким образом, одномерное волновое уравнение, описывающее собственные колебания струны с линейной плотностью ρ и

модулем упругости G.

Напишем гамильтониан системы – сумму кинетической и потенциальной энергий атомов:

тогда гамильтониан можно переписать следующим образом:

В последнем выражении учтено, что для того, чтобы смещение было действительной величиной, необходимо потребовать, чтобы

U* (−k,t) = U(k,t) .

62

Пользуясь уравнением на собственные колебания, можно получить зависимость от времени фурье-компонент смещений. Действительно,

здесь Pk ,Q−k – сопряженные обобщенные координаты и импульсы.

Дифференцируя оператор энергии по импульсу, координате, а также используя уравнения движения, можно получить уравнения Гамильтона

63

Для выражения гамильтониана через операторы в представлении чисел заполнения введем операторы ak (t), ak+ (t) следующим образом:

Введенные таким образом операторы рождения и уничтожения обладают всеми атрибутами операторов, фигурирующих ранее в задаче для одного осциллятора. В этом несложно убедиться, вводя правила коммутации для обобщенных координат и импульсов: [Pk ,Q−k ] = −ih .

Задача 4.3. Проверить коммутационные соотношения для операторов ak (t), ak+ (t) .

Окончательно гамильтониан системы представляется как сумма энергий гармонических операторов:

при этом через эти операторы можно выразить и смещение:

Зная решение задачи для осциллятора, далее можно рассчитать и термодинамические свойства данной системы.

Теперь рассмотрим формализм вторичного квантования (или представление чисел заполнения) в общем случае.

64

4.3.Формализм вторичного квантования

Волновые функции в шредингеровском представлении неудобны для описания ансамбля тождественных частиц. Действительно, если рассмотреть функцию двух тождественных частиц Ψ(a,b) ,

то функция Ψ(b,a) описывает ту же амплитуду вероятности того,

что одна частица находится в точке a, а вторая – в точке b. Следовательно, значения этих функций не могут задаваться произвольно, и должны различаться только фазовым множителем, так как модули квадратов этих волновых функций описывают одну и ту же физическую величину и должны быть равны:

Ψ(a,b) 2 = Ψ(b,a) 2 . Эту проблему устраняют, потребовав, чтобы

волновая функция двух тождественных частиц была либо симметрична, либо антисимметрична относительно перестановки аргументов. Для системы, состоящей из многих частиц, такая проблема еще более усугубляется, так как следует потребовать симметрию или антисимметрию любой пары частиц. В случае антисимметрии результат представим в виде так называемого детерминанта Слэтера [3], работать с которым чрезвычайно неудобно. Иногда предлагается также альтернативный метод – схема Юнга [1] – для учета тождественности, но он также неудобен для практического применения.

Предлагаемый ниже аппарат вторичного квантования (или формализм чисел заполнения) позволяет избежать вышеуказанных трудностей, удобен для работы (в том числе, для формализации задач на компьютере), и специально направлен на описание систем тождественных (неразличимых) частиц. Будет показано, как естественным образом все операторы физических величин можно представить через операторы рождения и уничтожения фермиевского или бозевского вида и как практически работать с ними.

65

4.3.1.Одночастичный базис

Введем вакуумную волновую функцию 0 , обозначающую

состояние рассматриваемой системы, не содержащее ни одной частицы. Затем добавим в систему одну частицу, и рассмотрим полный набор таких одночастичных состояний. В качестве одночастичных состояний можно выбрать, например, плоские

волны, образующие полный набор: k = eikx . В формализме чисел

заполнения такие состояния будут представлены следующим образом:

Это тождество означает, что введенный оператор рождения ak+ по

определению рождает частицу в одночастичном состоянии, описываемом плоской волной с волновым вектором k.

Итак, одночастичное состояние определяется как результат действия оператора рождения на вакуумное состояние. Волновая функция, сопряженная с одночастичной, представляется в виде

0 ak , где ak – сопряженный с ak+ оператор (принято говорить, что

ортонормированности одночастичного базиса справедливо следующее очевидное соотношение:

Для случая одной частицы пока не получено никаких новых результатов, кроме переобозначений волновых функций. Формализм вторичного квантования становится полезным при рассмотрении систем двух и более частиц.

Подчеркнем, что полный набор – необязательно плоские волны, а квантовое число k – необязательно волновой вектор. Более того, функции любого другого базиса всегда можно записать в виде линейных комбинаций плоских волн. Значит, и операторы

66

рождения, соответствующие новому базису, также можно выразить через линейную комбинацию операторов ak+ .

Пусть имеется новый набор базисных функций n . Тогда

Это соотношение следует из полноты базиса и тождественного соотношения 1 ≡ ∑ kk . Соответствующий набор операторов

k

рождения дается следующими линейными комбинациями операторов ak+ :

Оператор an+ рождает частицу в состоянии n .

В частном случае, если ввести координатные волновые функции, являющиеся фурье-образом от плоских волн

рождают частицу в пространственной точке x (их называют полевыми операторами – операторами поля частиц).

4.3.2. Двухчастичный и многочастичный базис. Коммутационные соотношения

Рассмотрим теперь полный набор состояний двух частиц. В обычном (шредингеровском) представлении можно взять, например, произведение плоских волн

но такой выбор неоднозначен – заданным значениям векторов k′,k′′ соответствуют два разных состояния: в одном первая

67

частица имеет импульс k′ , а вторая – k′′ , в другом – наоборот. Положим, что частицы неразличимы, т.е. осуществляется только одно физическое состояние, а именно состояние, в котором одна частица обладает волновым вектором k′ , а другая – волновым вектором k′′ . Получается, что в шредингеровском представлении такое вырождение по симметрии мы должны учесть, хотя никакой дополнительной физической информации этот факт не вносит в задачу.

Посмотрим, как записать это состояние в формализме вторичного квантования:

В результате действия двух операторов рождения на вакуумное состояние рождаются две частицы, одна частица с волновым вектором k′ , а другая – c волновым вектором k′′ . Очень важно, что номера частиц при этом не вводятся, однако следует помнить, что одно и то же вторично квантованное двухчастичное состояние можно записать двумя способами. Так, для заданных векторов k′ , k′′ можно записать еще одно состояние

Это то же самое физическое состояние, поэтому отличаться эти функции могут только множителем, т.е.

Последние соотношения (коммутационные) должны выполняться в любом базисе и должны быть инвариантными относительно переходов от одного базиса к другому. Ясно, что множитель F не должен зависеть от k′ , k′′ и их взаимного расположения в коммутационном соотношении. Единственные числа, которые удовлетворяют этим условиям, это F = ±1 . Таким образом, возможны только два вида коммутационных соотношений:

или

68

Итак, возможна либо коммутация, либо антикоммутация операторов рождения. Частицы, операторы которых коммутируют, называются бозонами, частицы с антикоммутационными соотношениями – фермионами. Фермионами являются электроны, протоны и нейтроны, слагающие атомы, а бозонами являются, например, фотоны – кванты света, фононы – кванты звуковых колебаний, нейтральные атомы гелия и др. Все элементарные частицы

разделены на эти два основных класса.

Проанализируем важнейшие свойства квантовых систем, обладающих бозеили ферми-симметрией. Пока речь не идет о термодинамике, обсуждаются лишь квантовые состояния систем.

Посмотрим, что произойдет, если волновые вектора совпадают: k′ = k′′ . Для случая бозонов получаем тривиальное тождество, а для фермионов находим

Получаем важнейшее свойство фермионов – в одном и том же квантовом состоянии два фермиона находиться не могут – знаменитый принцип (или запрет) Паули.

Еще одно свойство – связь между коммутацией (перестановкой) операторов рождения и перестановкой частиц. Рассмотрим движение двух частиц в системе их центра масс. Тогда соотношения коммутации примут следующий вид

причем 2K – импульс центра масс, 2q – импульс относительного движения.

Пусть центр масс движется равномерно и описывается плоской волной, а нас интересует функция относительного движения. Тогда

69

функция Φ(K) отвечает за движение системы как целого, а ϕ(r) – за внутренние степени свободы. Последнюю функцию разложим в

получается заменой q → −q под знаком суммы. Видно, что функции g(q) должны быть четными для бозонов и нечетными для

фермионов (для простоты мы пренебрегли здесь учетом других степеней свободы, например спинов частиц, что, однако, не изменит общности результатов).

Четность функций g(q) напрямую связана со значением

орбитального момента количества движения, так что орбитальный момент количества движения должен быть четным для бозонов и нечетным для фермионов. Но процедура изменения знака импульса относительного движения эквивалентна процедуре перестановки между собой частиц. Более того, функции g(q) – это

шредингеровские волновые функции относительного движения, только в импульсном представлении. Поэтому отсюда следует, что бозонная волновая функция должна быть симметричной относительно перестановки частиц, а фермионная –

антисимметричной.

Эрмитово сопряженная двухчастичная волновая функция (бравектор) вводится следующим очевидным образом:

Нормировка этой волновой функции

должна быть выбрана из соображений удобства. Более общее соотношение ортонормированности имеет следующий вид:

70