МИФИ_Вычметоды КФ

Результат расчета практически не изменится, если выражение

После того, как определен вид гамильтониана в импульсном представлении, можно построить гамильтонову матрицу

и диагонализовать ее. Значения импульса, в соответствии с (3.37) (расстояние между узлами сетки a в (3.37) соответствует в данном

значения, являющиеся спектром системы (напомним, что спектр матрицы не зависит от представления, в котором она построена), и собственные функции Φ′(p) , отвечающие этим собственным

значениям, которые теперь будут зависеть не от координаты, а от импульса частицы. На рис. 3.11 показано распределение импульса частицы для первых четырех связанных состояний; этот результат получен сплайн-интерполяцией значений, полученных при диагонализации гамильтоновой матрицы, отвечающей сетке разбиения по импульсу из m = 800 отрезков.

51

для нечетных собственных функций (нечетные номера уровней).

Распределение частицы по координате для первых пяти связанных состояний, полученное из (3.71) – (3.72), показано на рис. 3.12. Этот график практически идентичен рис. 3.11, который получен решением задачи в координатном представлении.

В заключение раздела заметим, что выбор базиса для задачи диагонализации конкретной квантовой системы диктуется исключительно вопросами удобства расчета и наглядностью представления.

Задачи

3.1. Исследовать поведение частицы в потенциале∞, x < 0;

U= − U0 , 0 < x < a;0, x > a.

При a = 1 подобрать такое значение U0 , чтобы в яме было пять связанных

состояний. Рассчитать энергии этих состояний, построить зависимость плотности вероятности распределения частицы от координаты для этих состояний.

53

ЧАСТЬ 2

КВАНТОВЫЕ МНОГОЧАСТИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

Квантовые многочастичные задачи, даже в случае сильно взаимодействующих частиц (электронов, бозонов, спинов), также поддаются точному численному решению в случае небольших размеров системы. Удобным базисом в этом случае являются узельные функции в представлении чисел заполнения во вторичном квантовании, а все операторы представляются через так называемые операторы рождения и уничтожения, которые автоматически будут учитывать симметрию и статистику частиц.

Перед обзором узельных квантовых моделей познакомимся с представлением чисел заполнения [1]. Вначале на конкретных примерах будут обоснованы правила, необходимые в дальнейшем для решения квантовых задач численными методами. Затем, специально для узельного базиса, будет подробно обсуждена техника использования вторичного квантования для конкретных видов статистик.

4.Формализм вторичного квантования. Представление чисел заполнения

Вторичное квантование – это математический формализм, который позволяет описывать тождественные (неразличимые) частицы естественным образом, так что принцип неразличимости частиц учитывается с самого начала, с построения базисных волновых функций. Этот метод называют также представлением чисел заполнения, он удобен и для описания квантовых систем с переменным числом частиц.

55

Описание квантовой многочастичной задачи во вторичном квантовании формализуется, что позволяет в дальнейшем с успехом применять численный анализ.

Рассмотрим этот математический подход подробнее на конкретных примерах, и начнем с задачи об одномерном гармоническом осцилляторе, в которой будут введены понятия операторов

рождения и уничтожения частиц.

4.1.Одномерный гармонический осциллятор

Уравнение Шредингера для одномерного гармонического осциллятора имеет следующий вид:

HˆΨ = EΨ,

Здесь m – масса осциллятора, ω – частота его колебаний.

Решение этой задачи известно (см., например, [1]): спектр имеет вид

где n – неотрицательные целые числа, а волновые функции этой системы

56

Далее задача решается путем выделения экспоненциальных асимптотик и требованием ограниченности волновой функции на бесконечности [1].

Рассмотрим другой метод решения этой задачи. Введем безразмерные операторы

P = 1i ∂∂Q .

Они удовлетворяют следующему коммутационному соотношению:

h

Задача 4.1. Получить коммутационное соотношение (4.7).

Гамильтониан в новых операторах запишется следующим образом:

так называемые операторы рождения и уничтожения. Они удовлетворяют следующему коммутационному соотношению:

и гамильтониан, выраженный через операторы a,a+ , принимает вид:

57

Теперь необходимо определить, как новые операторы ˆa и ˆa+ действуют на волновые функции. Рассмотрим действие оператора a+ на произвольную собственную волновую функцию Ψε . Имеем

(здесь и далее «шляпки» для обозначения операторов будем опускать):

58

Следовательно, результатом действия оператора рождения является увеличение на единицу номера состояния по следующему правилу:

Аналогично можно вывести правило для оператора уничтожения:

Из этих правил следует, что спектр одномерного гармонического осциллятора эквидистантен, т.е. расстояние между уровнями постоянно и равно единице (в единицах hω ), неизвестен только отсчет энергии – наинизший энергетический уровень. Ясно, что оператор уничтожения при действии на волновую функцию основного состояния даст нуль, так как нельзя создать уровень ниже наинизшего. Воспользуемся этим условием:

Таким образом, минимальная энергия осциллятора равна 1/2, и спектр можно пронумеровать следующим образом:

что совпадает с (4.2). Одновременно находим правила действия операторов рождения и уничтожения на собственные волновые функции:

Заметим, что этот подход позволяет полностью решить задачу, т.е. найти также и сами волновые функции. Вспомним, что

59

Нормировка на единицу приводит к множителю A = π−1/4 .

Задача 4.2. Получить нормировочный множитель A.

Теперь, зная функцию нулевого уровня и пользуясь правилом действия оператора рождения, можно получить волновую функцию любого n-го уровня:

Здесь Hn(Q) – полиномы Эрмита, определяемые формулой (4.4). Полученный результат совпадает с (4.3).

Представленный вариант решения показывает, как можно в новом представлении решить задачу об осцилляторе, перейдя к

операторам рождения и уничтожения, а также к базису волновых функций в представлении чисел заполнения; в этом случае хорошим квантовым числом является номер уровня. Полученные правила действия операторов, а также коммутационные соотношения между ними, как будет показано далее, в точности совпадают с правилами действия и коммутаторами для операторов рождения и уничтожения в случае статистики Бозе.

4.2.Поле смещений в струне

Рассмотрим, как можно описать поле смещений в струне с помощью операторов рождения и уничтожения. Для вывода уравнений движения и гамильтониана удобно сначала использовать дискретную модель и представить колебания в струне как колебания в периодической цепочке атомов, связанных упругими

60