МИФИ_Вычметоды КФ

1 2

E1 = −28.910

E2 = −25.649

E3 = −20.256

E4 = −12.823

E5 = −3.675

5

Рис. 3.6. Волновые функции частицы в конечной потенциальной яме

41

3.3.Импульсное представление

Спектр квантовой задачи является инвариантом, не зависящим от выбора базиса. В предыдущем разделе для решения задач выбирался узельный базис, напрямую связанный с пространственным распределением волновой функции частицы. Рассмотрим теперь, как можно одночастичную задачу решить в

импульсном представлении, которое является фурьепреобразованием координатного пространства. Для более детального изучения импульсного представления познакомимся сначала с необходимыми математическими вопросами.

3.3.1.Дискретное преобразование Фурье

Фурье-преобразование играет важное значение в квантовой физике конденсированного состояния. Обратное пространство (его называют также фурье-пространством или импульсным пространством) – реальность, с которой сталкиваются исследователи при изучении рентгеновских и нейтронных спектров кристаллов, при наблюдении и расчете зонной структуры, фононных спектров и т.д. Все физические величины, определенные в периодическом пространстве кристалла, такие как энергия электронов и дырок, дисперсия фононных и фотонных возбуждений, волновые функции квазичастиц и др., периодичны в импульсном пространстве с периодом обратной решетки. Кроме того, для конечной дискретной системы обратное (импульсное) пространство также дискретно.

Проиллюстрируем сказанное на следующем примере. Пусть имеется одномерная область пространства, ограниченная интервалом 0 < x ≤ aL , где a – период пространственной решетки, L – целое число. Для того, чтобы все "узлы" (подразумеваются реальные атомы физической системы) прямого пространства не отличались друг от друга, введем периодические условия на границах интервала, тогда первый и последний узлы станут соседними (рис. 3.7).

42

3a

...

Рис. 3.7. Одномерная цепочка из L узлов с периодическими граничными условиями

Можно предполагать, что при L >> 1 влияние граничных условий будет минимально. Если мы решаем, например, уравнение Шредингера для одной свободной частицы на такой решетке, то

Потребуем, чтобы на это решение были наложены условия периодичности. Математически это означает, что

Ψk (x + aL) = Ψk (x) , т.е. eikLa = 1. Эти граничные условия называются

граничными условиями Борна – Кармана. Из условия eikLa = 1 следует, что импульс частицы должен удовлетворять условию

неповторяющихся импульсов равно числу узлов; при увеличении размеров системы соседние значения импульсов все больше приближаются друг к другу. Все неповторяющиеся импульсы

размещены в области 0 < k ≤ 2aπ . Эта область называется первой

43

зоной Бриллюэна. Обычно точку отсчета удобно помещать в центр зоны, тогда первая зона Бриллюэна заключена в интервале

− πa < k ≤ πa . Пространство разрешенных импульсов однозначно

связано с прямым (обычным) дискретным пространством и называется обратным. Все сказанное справедливо и в трехмерной ситуации. Так, если имеем в прямом пространстве простую кубическую (ПК) решетку, то в обратном пространстве ей соответствует также простая кубическая решетка, объемноцентрированная кубическая (ОЦК) решетка в прямом пространстве соответствует гранецентрированной кубической (ГЦК) решетке в обратном пространстве, и наоборот (рис. 3.8). Заметим, что при изучении структуры твердых тел методами рентгеновской и нейтронной дифракции сначала определяют обратное пространство, а уже потом по нему восстанавливают вид кристаллической решетки в прямом пространстве.

Проанализируем проблему фурье-преобразования с математической точки зрения. Рассмотрим периодическую функцию f(x) с периодом 1, определенную на всей действительной оси, и разложим ее в ряд Фурье:

Выберем на оси x дискретную пространственную сетку xi = Ni , где N фиксировано,

i – целое. Положим fi ≡ f(xi) – значения функции в узлах сетки. Тогда в фурьеразложении функции f(x) будет много слагаемых с одинаковыми экспоненциальными

44

принадлежащей дискретной сетке xi .

Таким образом, теперь задача рассматривается только на одном периоде, разделенном на отрезки ("узлы") длиной 2Nπ . Для решения задачи нужно определить коэффициенты Фурье Aq .

Введем скалярное произведение двух функций на дискретной сетке:

Множитель 1 /N введен для корректного перехода в непрерывный предел:

если q = j , то вычислить скалярное произведение можно двумя способами:

45

В непрерывном пределе имеем:

Иногда удобнее проводить суммирование по периоду в симметричных пределах.

Используя это свойство, можно следующим образом сдвинуть пределы суммирования:

В последней сумме сделаем замену q′ = q − N , получим:

В итоге суммирование проводится в пределах интервала − N2 < q ≤ N2 .

Для численного расчета всех коэффициентов Фурье в общем случае необходимо

~ N2 операций, и при достаточно большом N процедура расчета коэффициентов может занимать значительное время. Существует алгоритм, который позволяет проводить разложение в ряд Фурье гораздо быстрее – за ~ Nlog2 N операций – так

называемое быстрое преобразование Фурье.

Пусть имеются коэффициенты Фурье некоторой периодической функции f:

46

Формально подставим в выражение для коэффициентов Фурье эти разложения:

Задача разбилась на 2 части: сначала определяют коэффициенты A(1) , а затем подставляют их в выражение для коэффициентов Фурье Aq .

Определим количество операций, необходимое на расчет фурье-компонент. Легко оценить, что для расчета всех коэффициентов A(1) необходимо перебрать переменную j1 для внутренней суммы (т.е. p1 операций), а внешние переменные – это j2 ( p2 операций) и q1 ( p1 операций). Таким образом, для расчета всех

коэффициентов A(1) необходимо ~ p1p2p1 = Np1 операций. Аналогично определяем,

что при известных коэффициентах A(1) количество операций, необходимое для расчета коэффициентов Aq , равно ~ p2p1p2 = Np2 операций.

В общем случае, при разбиении числа N на произвольные сомножители цена фурье-

r

операций будет ~ N∑pi , где r – число сомножителей. Следует только

i=1

последовательно вычислять величины A(1), A(2),...,A(r) , начиная от внутреннего

47

разбиения и передвигаясь к внешнему. Наиболее эффективное разбиение достигается при p1 = p2 = ... = pr = 2 , т.е. по основанию 2, как в двоичном коде. В

этом случае имеем 2r = N , т.е. r = log2 N . Отсюда полное число операций ~ Nlog2 N << N2 .

Запишем алгоритм специально для двоичного разбиения, часто используемого на практике. Представим числа q и j в виде

Тогда для расчета коэффициентов A(i) существует последовательность рекуррентных соотношений:

Заметим, что следует сразу брать число разбиений N кратное степеням 2: N = 2n.

3.3.2. Решение одночастичной задачи в импульсном представлении

Для решения задачи о частице в потенциальной яме выберем теперь базис в импульсном представлении, базисные функции которого имеют вид (3.36)

где L – ширина ямы или ширина области, в которой локализован потенциал или волновые функции частицы.

Формально вид нового базиса при построении гамильтоновой матрицы можно представить по аналогии с (3.13),

Φk=1 = 100...0; Φk=2 = 010...0; ...; Φk=n = 000...1 , (3.60)

однако теперь единица означает, что соответствующая базисная функция описывает состояние частицы Φk с импульсом k.

48

где введена безразмерная система единиц m → 1 ; h → 1.

Известно аналитическое решение этой задачи [1], спектр связанных состояний системы имеет вид

График зависимости U(x) вместе с разрешенными уровнями энергии приведен на рис. 3.9.

Рис. 3.9. Вид потенциальной ямы и дискретного спектра для (3.61)

Решение задачи в координатном представлении, так, как это было сделано для прямоугольной ямы в предыдущем разделе, при ширине области определения L = 2a = 8 и сетке разбиения из 800 отрезков дает для первых пяти связанных состояний значения

49

E1 = −13.4110;

E2 = −8.7319;

E4 = −2.3743;

E5 = −0.6845,

азависимость соответствующих амплитуд вероятности от координаты показана на рис. 3.10.

Для решения задачи в импульсном представлении следует сначала записать гамильтониан в терминах импульсного базиса (3.60). Первое слагаемое в (3.9), отвечающее кинетической энергии частицы, запишется в виде

Слагаемое, отвечающее потенциальной энергии частицы, теперь будет недиагональным:

−a

Подставляя (3.61) в (3.66) и вводя сетку разбиения из m отрезков вдоль оси x с шагом h = 2a/m, получаем:

50