МИФИ_Вычметоды КФ

max(A +1 ,...,A ) − min(A +1 ,...,A )

δA = 2 2 . (11.244) 2

Как правило, погрешность, рассчитанная методом "1/2 файла" – оценка сверху для (11.237). В пределе M >> 1 значения (11.241) и (11.244) стремятся к одному результату (11.237).

Рис. 11.53. Расчет погрешности методом "1/2 файла".

С ростом M флуктуации среднего значения A уменьшаются

Заметим, что флуктуационная граница "1/2 файла" – условна, можно использовать оценку "3/4 файла" или любую другую, конкретное значение в асимптотике не имеет значения, главное, задавшись этим параметром, не менять его в процессе расчета.

Если фиксировать точки, при которых были отобраны минимальные и максимальные частичные средние,

то автокорреляционное время можно оценить следующим образом:

392

Оценку автокорреляционного времени можно получить также из зависимости автокорреляционной функции ϕA (t) (рис. 11.54).

Обычно полагают, что автокорреляционное время равно величине, при которой значение автокорреляционной функции становится меньше 0.1.

Рис.11.54. Оценка автокорреляционного времени через автокорреляционную функцию

Автокорреляционное время является удобным параметром для сопоставления эффективности различных стохастических методов вычислений. Чем меньше τA , тем более эффективен тот или иной

метод (Монте-Карло, молекулярной динамики и т.д.) для расчета физической величины A. При этом следует помнить, что автокорреляционное время различно для различных физических величин, поэтому при оценке эффективности алгоритма следует выбирать автокорреляционное время той величины, сходимость которой в данном алгоритме медленнее всего. Такая оценка эффективности универсальна, так как не зависит ни от конкретного вида компьютера и операционной системы, ни от языка программирования.

Автокорреляционное время отражает реальные временные и релаксационные процессы в системе. Известно, что при приближении к точке фазового перехода "парамагнетик – ферромагнетик" в модели Изинга автокорреляционные времена для восприимчивости и теплоемкости резко возрастают (так называемое критическое замедление алгоритма), что отражает факт нарастания флуктуаций и, соответственно, времен релаксации и корреляционных длин. При этом те физические величины,

393

На рис. 11.55 показаны зависимости автокорреляционного времени и погрешности при расчете энергии в одномерной модели Изинга (11.131) с параметрами J = 1; H = 0.1; T = 0.5; число узлов 100;

E = −109.6250 ± 0.0049 . Погрешность, рассчитанная методом "1/2 файла", составила (δE)1/2 = 0.0052.

394

11.7. Диаграммные методы и высокотемпературное разложение. Преобразование операторов физических величин

Существуют схемы Монте-Карло, использующие суммирование диаграмм для эффективного перебора конфигурационного пространства. Эти методы близки к аналитической диаграммной технике (см., например, решение Онзагера для двумерной модели Изинга [36]) и часто позволяют асимптотически просуммировать весь ряд диаграмм там, где аналитические подходы неприменимы.

Вэтом разделе будет рассмотрено так называемое

высокотемпературное разложение в сочетании с "алгоритмом червя" (worm) для большого канонического ансамбля на примере модели Изинга [52]. В общем случае высокотемпературное разложение может быть использовано для большого количества классических дискретных моделей, но именно для модели Изинга его применение наиболее наглядно.

Рассмотрим статистическую сумму для ферромагнитной модели Изинга

здесь H – внешнее поле; обменное взаимодействие J = 1.

Разложим экспоненты в статистической сумме следующим образом:

395

здесь первый сомножитель соответствует учету межчастичного взаимодействия, второй – взаимодействия с внешним полем, при этом чем выше температура T (меньше обратная температура β ),

тем лучше сходимость ряда (11.249). Это разложение называется

высокотемпературным.

Рассмотрим сначала первый множитель:

т.е. положим внешнее поле равным нулю. Для каждой из пар ij ,

занумерованных как связи под номером b, имеем отдельное разложение экспоненты. Статистическая сумма в этом случае выглядит так:

Заметим, что операторы Si ≡ SiZ коммутируют между собой, так что

их можно свободно переставлять в произведении (11.251). Таким образом, для системы с коммутирующими операторами суммирование по узельным состояниям (в данном случае – по конфигурациям спинов) можно внести внутрь полной статистической суммы, и заранее рассчитать вклад в нее от каждого узла:

здесь ki обозначает суммарное число связей, входящих в узел i (рис. 11.56).

396

есть состояние узла, равное числу связей, входящих в узел i. Каждая связь ij имеет статистический вес βNi↔ j /Ni↔ j!.

Рис. 11.57. Две из возможных конфигураций, дающих вклад в статистическую сумму (11.253)

В такой постановке суммирование проводится не по состояниям узельных спинов, а по всем возможным замкнутым конфигурациям коррелированных пар, как соприкасающихся, так и не связанных друг с другом, с самопересечениями и самоперекрытиями. То, что все траектории должны быть замкнуты, следует из того факта, что

любая сумма Q(ki) = ∑(Si )ki не нулевая только лишь в случае,

Si=±1

когда узел i соединен четным числом связей с соседями.

Способ разложения и правила построения диаграмм могут быть и другими. Для сравнения приведем здесь способ разложения, предложенный Онзагером (см. [36]) для аналитического решения двумерной модели Изинга.

В этом подходе все узлы квадратной решетки размера L × L нумеруются парой индексов Skj , где 1 ≤ k, j ≤ L – дискретные координаты. Тогда гамильтониан модели

Изинга в приближении ближайших соседей и без учета магнитного поля имеет вид

L

H = − ∑(SkjSk,j+1 + SkjSk+1,j) . k,j=1

398

Соответственно, статистическая сумма запишется следующим образом:

Далее, учитывая, что Skj = ±1 , получаем:

eβSkjSk′j′ = chβ + SkjSk′j′shβ = chβ(1 + SkjSk′j′thβ) .

Окончательно, для статистической суммы находим: Z = (1 − (thβ)2)L2 S;

L

S = ∑ ∏(1 + thβ SkjSk,j+1)(1 + thβ SkjSk+1,j).

{S} k,j=1

Можно заметить, что выражение для статистической суммы представляет собой сумму произведений всевозможных степеней thβ и Skj . Каждому слагаемому из этой

суммы можно сопоставить диаграмму. Например, выражениям

(thβ)2Skj(Sk+1,j)2Sk+1,j−1; (thβ)4 (Skj)2(Sk+1,j)2(Sk+1,j−1)2(Sk,j−1)2

отвечают диаграммы, показанные, соответственно, на рис. 11.58.

Рис. 11.58. Диаграммы Онзагера

Ненулевой вклад в статистическую сумму будут давать только замкнутые диаграммы, которые содержат четные степени Skj .

В принципе, далее можно сформулировать алгоритм Монте-Карло в этой постановке, но предыдущая схема более общая, годится не только для модели Изинга и в ней легче учесть внешнее магнитное поле.

Следует подчеркнуть, что величина Q – результат суммирования по узельным состояниям, и в общем случае она зависит от конкретной статистики и модели. Эту величину можно отдельно рассчитать

399

аналитически или численно, в том числе и для непрерывных степеней свободы. Более того, величина Q может быть уникальна для каждого узла (например, в случае присутствия в системе примесного потенциала или неоднородного поля) [53].

Перебирать всевозможные состояния – диаграммы удобно с помощью следующего вспомогательного приема. Определим спин-

спиновую корреляционную функцию для модели Изинга

Конфигурации, дающие вклад в g, отличаются от конфигураций, дающих вклад в статистическую сумму, тем, что теперь существуют два выделенных узла i1 и i2 с нечетным числом связей.

Соответствующие состояния узлов i1 и i2 тогда определяются выражениями

Эти узлы являются единственными точками, в которых траектория может быть разорвана (рис. 11.59). Вес конфигураций, дающих вклад в g, определяется точно так же, как и для замкнутых конфигураций, при этом для выделенных узлов полагается, что

так же, как и для остальных узлов. Возможность такого определения веса незамкнутых конфигураций объясняется ниже.

Далее в методе используется так называемый алгоритм червя ("worm"), в котором конфигурации, дающие вклад в g, формируются за счет перемещения точек i1 и i2 . Под червем

400