МИФИ_Вычметоды КФ

(вырожденные состояния), рис. 3.1. Состояние с наименьшей энергией называется основным состоянием системы.

Общее решение (3.4) можно представить в виде суперпозиции собственных функций гамильтониана:

состояниям и интегрирование по состояниям непрерывного спектра.

Рис. 3.1. Классификация собственных значений оператора энергии

3.1.Бесконечная потенциальная яма

Рассмотрим задачу о частице в одномерной потенциальной яме ширины a с бесконечно высокими стенками (рис. 3.2).

31

Перейдем для удобства к безразмерной системе единиц, положив m → 1; h → 1, тогда гамильтониан запишется следующим образом:

Так как потенциал ямы бесконечен при x < 0 и x > a , то решение уравнения Шредингера (3.4) существует только в области 0 < x < a . Подставляя (3.9) в (3.4), получаем:

n

Ψ′′(xi) трехточечной разностной формулой:

32

здесь Ψi ≡ Ψ(xi) .

Выберем в качестве ортонормированного базиса систему функций (сравнить с базисом на рис. 2.4)

где единица означает, что частица находится на соответствующем отрезке, например, базисная функция Φ2 отвечает ситуации, когда

частица находится на отрезке [ x2 ,x3]. Размерность этого базиса

будет равна числу отрезков разбиения n. Любая волновая функция Ψ(x) может быть разложена по базисным функциям Φ :

i=1

где коэффициенты разложения Ci будут получены далее в расчете,

а оператор энергии действует на базисные функции следующим образом:

Таким образом, задача сводится к системе линейных уравнений HΨ = EΨ , (3.16)

где матрица H имеет размеры n× n и является трехдиагональной:

33

диагонализацией матрицы гамильтониана при помощи встроенной процедуры диагонализации в системе Matlab для n = 100 . В

табл. 3.1 приведены четыре наименьших значения энергии частицы в бесконечной яме, а также показана относительная разница между аналитическим и численным ответами.

Рис. 3.3. Первые четыре собственные функции частицы в бесконечной потенциальной яме. По горизонтальной оси отложена координата частицы, по вертикальной – амплитуда волновой функции. Точками отмечено численное решение задачи, сплошной линией – точное аналитическое решение

35

Таблица 3.1. Сравнение результатов численного расчета

саналитическим решением (3.15) задачи о частице

вяме с бесконечными стенками

Хотя точность численного решения довольно высока, особенно для основного состояния с энергией E1 , видно, что с увеличением

номера энергетического уровня погрешность расчета возрастает.

Заметим также, что при решении одночастичных задач всегда справедлива осцилляционная теорема, утверждающая, что

число нулей собственной волновой функции на единицу

меньше, чем номер энергетического уровня, которому она отвечает (при этом не учитываются вырожденные состояния).

3.2.Конечная потенциальная яма

В яме конечной глубины состояния частицы делятся на связанные состояния Ed и состояния непрерывного спектра Ec , энергия которых удовлетворяет соотношению

36

Следовательно, при численном расчете волновых функций связанных состояний недостаточно ограничиваться лишь размерами ямы, так как волновые функции существуют и при x > a . Граница области a′ , на которой ищется решение, должна быть определена из условия затухания полученного решения на расстояниях x ~ a′ (см. рис. 3.5). Если после решения задачи и нахождения собственных функций выяснится, что они имеют конечное значение в точке x = a′ , то следует увеличить размер области, на которой ищется решение, и решить задачу заново.

По сравнению с задачей о яме с бесконечными стенками, теперь спектральная задача формулируется следующим образом:

38

Заметим, что если бы в задаче рассматривалась двумерная потенциальная яма (квадратная яма ширины a и глубины U0 ), в

матрице (3.30) было бы не три, а пять ненулевых диагоналей.

Из-за того, что в яме конечной глубины имеется лишь конечное число k связанных состояний, среди всех n решений (3.30) будет n − k решений, отвечающих состояниям непрерывного спектра. При численной диагонализации матрицы (3.30) это может привести к проблеме, связанной с тем, что матрица H может быть плохо обусловленной, т.е. некоторые ее столбцы являются почти линейно зависимыми. Степень обусловленности матрицы характеризуется числом обусловленности, которое для симметричной вещественной матрицы равно отношению модулей максимального и минимального собственных значений. Большие числа обусловленности (порядка 1000 и больше) отвечают плохо обусловленным матрицам, при численной диагонализации которых возникают очень большие погрешности, приводящие к неверным результатам. Из-за того, что значения энергии частицы, отвечающие состояниям непрерывного спектра, могут принимать любые положительные значения Ec > 0 , число обусловленности

матрицы H может принимать любые, сколь угодно большие, значения, определяемые лишь числом разбиения n. В современных математических пакетах имеются встроенные процедуры оценки числа обусловленности матриц до их диагонализации.

Для уменьшения числа обусловленности матрицы (3.30) можно использовать следующий прием. Сдвинем всю потенциальную картину на рис. 3.5 на достаточно большую величину U′ > 0 , так что

и, соответственно, к каждому элементу, стоящему на главной диагонали матрицы H, добавится слагаемое, равное U′ :

39

После такого преобразования все величины в задаче будут одного порядка, и число обусловленности матрицы H станет меньше.

а на собственные функции сдвиг потенциальной картины не окажет

На рис. 3.6 показаны волновые функции связанных состояний в конечной яме с параметрами U0 = 30, a = 2 и соответствующие им

значения энергии; при данных параметрах в яме существует 5 связанных состояний. Пространственное разбиение при решении системы (3.28) было выбрано с шагом h = 0.005 , граница области

Матрица H в (3.30) является матрицей общего вида для задачи о частице в одномерной конечной потенциальной яме. Задавая различные значения Ui , можно решить уравнение Шредингера

(3.27) для потенциальной ямы произвольной формы.

40