МИФИ_Вычметоды КФ

11.5.3.2. Метод Монте-Карло для сверхпроводящей ВТСП-пластины

Рассмотрим представленную ранее модель вихревой системы (11.199) для конкретного случая сверхпроводника в виде плоской пластины конечной толщины, т.е. будем полагать, что сверхпроводящие слои расположены в плоскости xy, вдоль оси x толщина пластины равна d ( −d /2 < x < d /2 ), а вдоль оси y образец

много больше по размерам: Ly >> d, и для удобства вдоль оси y введены периодические граничные условия (рис. 11.45).

Рис. 11.45. Постановка задачи для моделирования сверхпроводящей ВТСП-пластины

Магнитное поле направим по оси z, перпендикулярно сверхпроводящим слоям и параллельно поверхности границы для исключения эффектов размагничивания [19, 20]. Предполагается, что толщина сверхпроводящего слоя вдоль оси z мала и сопоставима со сверхпроводящей корреляционной длиной, δ ~ ξ << λ , в то время как толщина пластины вдоль оси x –

макроскопическая величина: d ~10 ÷ 20λ ~ 20 ÷ 40 мкм.

371

Рассмотрим теперь применительно к данной постановке задачи входящие в (11.199) слагаемые, отвечающие за взаимодействие вихрей с поверхностью сверхпроводника и с токами и зависящие от геометрии задачи [49].

Взаимодействие Usurf (11.195) для случая пластины толщины d с

только первыми слагаемыми ряда с j = 0 :

Следует учесть также взаимодействие вихря с изображениями других вихрей:

где r(image) – радиусы-векторы изображений вихрей.

Распределение плотности мейсснеровского и транспортного токов в пластине (рис. 11.46) представляется, соответственно, слагаемыми

I c

поверхности пластины; I – полный ток через поперечное сечение пластины [19, 20].

372

Рис. 11.46. Распределение в сверхпроводящей пластине внешнего магнитного поля и связанного с ним тока (a);

распределение транспортного тока и создаваемого им магнитного поля (b)

Энергия взаимодействия вихря с токами рассчитывается через работу силы Лоренца WI на единицу длины вихря, совершенную

токами над вихрем при его перемещении от края пластины вглубь образца [50]:

знак "минус" перед единицей берется в том случае, если вихрь появился справа (в положительной области оси х), плюс – в случае рождения вихря на левом краю пластины.

Следует отметить, что учет взаимодействия вихря со своим изображением у границы и взаимодействия с мейсснеровским током естественным образом моделирует известный барьер Бина – Ливингстона для проникновения вихря с границы образца [20].

Элементарные шаги Монте-Карло следует для данной задачи также разбить на несколько типов подпроцессов. Дело в том, что в системе могут одновременно существовать вихри разных знаков. При перемагничивании (т.е. смене знака поля или тока) вихри одного знака, зацепленные за дефекты ("запиннингованные"), могут остаться в пластине, в то время как вихри противоположного знака, возникающие с границ сверхпроводника, начнут

373

продвигаться вглубь пластины. В такой ситуации возможно, что вихрь и антивихрь могут оказаться на небольшом расстоянии друг от друга, и им энергетически выгодно будет аннигилировать. Соответственно, следует допустить возможность таких подпроцессов. Более того, согласно рис. 11.46, в присутствии транспортного тока обязательно возникают созданные полем тока вихри разных знаков, которые будут проникать вглубь пластины с левой и правой границ, и взаимно аннигилировать вблизи центра системы.

Перечислим все подпроцессы, необходимые для создания эргодической схемы Монте-Карло для эффективного перебора состояний системы.

1. Движение вихря. Для реализации этого подпроцесса из имеющегося массива случайным образом выбирается вихрь и делается попытка переместить его на расстояние ~ λ в произвольном направлении. Вероятности перехода рассчитываются согласно алгоритму Метрополиса аналогично (11.180).

2. Рождение вихря. "Зона рождения" определяется как приграничная полоса шириной ~ λ слева и справа от краев пластины, в которой может возникнуть вихрь. Возможности создать вихрь или антивихрь выбираются с вероятностью 1/2, затем случайным образом в зоне рождения выбирается точка рождения. Общая вероятность подпроцесса рассчитывается аналогично (11.183), только вероятность обращения к конкретной точке рождения выбирается в виде

где в знаменателе стоит величина, пропорциональная площади зоны рождения.

3. Обратный подпроцессу рождения вихря процесс уничтожения вихря. "Зона уничтожения" также определяется как приграничная полоса шириной ~ λ ; из массива вихрей выбирается вихрь или антивихрь и делается попытка его уничтожить. Общая вероятность рассчитывается аналогично (11.183), вероятность обращения к вихрю выбирается в виде

374

1

pа = 2N , (11.206) где N – число вихрей в системе на данный момент. Множитель 1/2 в выражении для pa появляется из-за того, что в системе

присутствует два сорта вихрей: так как при процедуре рождения сорт вихря выбирался с вероятностью 1/2, а в данной процедуре уничтожение идет независимо, из общего массива, для правильного детального баланса необходимо учесть этот множитель и в процедуре уничтожения. Можно было бы сделать по-другому: отдельно проводить процедуры рождения и уничтожения для разных сортов вихрей, создав соответствующие независимые подпроцессы, тогда дополнительных множителей не появляется.

4. Аннигиляция вихрь-антивихрь. Эта процедура необходима для эффективного перемагничивания системы, она также является одной из основных в системе в присутствии транспортного тока. В этом случае происходит обращение к паре вихрей, одному из массива вихрей N+ и другому из массива антивихрей N− , с

вероятностью обращения

далее проверяется, расположены ли вихрь и антивихрь на малом расстоянии ~10ξ << λ , и, если это так, делается попытка

уничтожения этой пары вихрей. Согласно соотношению (11.194), вихрь и антивихрь притягиваются друг к другу, но уничтожение пары приведет также к понижению энергии на удвоенную собственную энергию вихря 2ε (см. (11.193)). Оценка этого процесса должна происходить согласно алгоритму Метрополиса, но, как правило, почти с единичной вероятностью аннигиляция произойдет. Тем не менее, для соблюдения детального баланса необходимо ввести подпроцесс, обратный подпроцессу аннигиляции пары – рождение пары.

5. Рождение пары вихрь-антивихрь. В этом случае случайным образом выбирается место в пластине для рождения пары, затем предпринимается попытка создать вихрь в этой точке и антивихрь в случайной точке (или наоборот) в окрестности ~ 10ξ от точки

375

рождения вихря. Вероятность обращения к точкам рождения вихрей в этом случае

Вероятность рождения рассчитывается с учетом предыдущего прямого процесса в рамках детального баланса:

Сам алгоритм Монте-Карло состоит из следующих шагов.

1.Создается произвольная начальная конфигурация вихрей, рассчитывается их энергия.

2.Случайным образом выбирается один из пяти подпроцессов.

3.Проводится соответствующая процедура выбора вихря или места для рождения или движения. Рассчитываются вероятности перехода W и после сравнения W со случайным числом, равномерно распределенным на (0,1) , принимается или нет новая

конфигурация.

4.Происходит сбор информации для расчета средней энергии, распределения вихрей и их количества.

5.Переход к следующему шагу Монте-Карло: возврат к п. 2.

В частности, индукция магнитного поля в зависимости от числа вихрей в такой геометрии рассчитывалась следующим образом:

376

мейсснеровских токов у границ пластины. Кроме того, вместо кванта потока в (11.211) записан эффективный квант вихря Φ , искажающийся вблизи границы сверхпроводника [20, 49]:

11.5.3.3. Результаты моделирования для ВТСП-пластины

Кратко рассмотрим некоторые результаты моделирования методом Монте-Карло для ВТСП-пластины [49, 50, 55]. Для расчета взяты параметры, характерные для сверхпроводника Bi2Sr2CaCu2O8 :

δ = 0.27 нм ; λ0 = 180 нм; ξ0 = 2 нм; Tc = 84 K . Толщина пластины была выбрана d = 3 мкм ; диапазон изменений внешнего поля 0 ≤ H ≤ 0.1 Тл ; глубина потенциальной ямы дефекта (центра пиннинга) равнялась ~ 0.01 эВ .

Практически все физические особенности поведения вихревой системы в сверхпроводнике с центрами пиннинга во внешнем поле и токе можно наглядно продемонстрировать в процессах перемагничивания. Именно эти явления и будут проанализированы в данном разделе как результат численного моделирования методом Монте-Карло.

В начале расчета дефекты случайным образом размещались по площади пластины, затем задавалась температура T, внешнее поле H, транспортный ток I; результатом работы алгоритма Монте-Карло были средние значения числа вихрей, далее рассчитывались

распределение средней вихревой плотности, что позволяло при необходимости восстанавливать профиль распределения индукции

377

поля и итогового тока по сечению пластины. Затем значение поля (тока) менялось, и расчет проводился заново, причем последняя конфигурация вихрей использовалась как стартовая (так же, как это было сделано в модели решеточного газа). Такая последовательность расчета важна для правильного моделирования фазовых переходов первого рода.

Рис. 11.47. Петли намагниченности для разного количества дефектов Nd

На рис. 11.47 представлены петли перемагничивания пластины во внешнем поле в отсутствие транспортного тока при температуре T = 5K . Каждая точка на графике – отдельный расчет Монте-

Карло. Видно, что ширина петли возрастает с увеличением числа центров пиннинга.

Качественно процесс перемагничивания можно описать следующим образом. Рассмотрим, например, петлю с малым количеством дефектов на рис. 11.47. При первоначальном увеличении внешнего магнитного поля вихри не рождаются и не проникают в пластину, так как на границе существует энергетический барьер (барьер Бина – Ливингстона) – комбинация отталкивания вихря мейсснеровскими токами и притяжения вихря к своему зеркальному

378

изображению. На графике эта область (ее называют мейсснеровской) соответствует прямой линии из начала координат до точки 1. После достижения первого критического поля Hc1 вихри начинают входить в пластину, при этом

намагниченность уменьшается (участок 1-2). После достижения значения H = 0.1 Тл начинаем уменьшать внешнее поле, однако

барьер не дает выйти вихрям из пластины, и в поведении намагниченности возникает необратимость. При дальнейшем уменьшении внешнего поля до нулевого значения поверхностный барьер исчезает, и некоторое число вихрей выходит из пластины (участок 2-3), при этом существует остаточная намагниченность, обусловленная наличием запиннингованных вихрей. При увеличении внешнего магнитного поля противоположного знака вихри остаются закрепленными на центрах пиннинга, а поверхностный барьер мешает войти в образец антивихрям (участок 3-4), поэтому намагниченность линейно падает пропорционально внешнему полю. При дальнейшем возрастании величины внешнего поля противоположного знака его значение достигает поля перегрева мейсснеровского состояния, антивихри начинают проникать в пластину и аннигилировать с вихрями, закрепленными на центрах пиннинга, т.е. начинается процесс перемагничивания пластины (участок 4-5 и далее). Затем при обратном изменении внешнего магнитного поля картина повторяется, и петля намагниченности замыкается.

Рассмотрим теперь процесс перемагничивания током в отсутствие внешнего поля [50]. Он во многом похож на перемагничивание полем, однако имеют место некоторые особенности. Кривая перемагничивания током на рис. 11.48 приведена только для одной из геометрических половин пластины (относительно нулевой координаты по оси х), так как в каждой из половин магнитные потоки имеют разный знак, и суммарная намагниченность в отсутствие поля была бы приближенно равна нулю, что не отражало бы адекватно энергетические потери в образце.

379