МИФИ_Вычметоды КФ

значений температуры системы. По оси абсцисс отложен единичный объем v = 1/ρ .

Проанализируем полученные данные. При достаточно низкой температуре T = 1.3 (рис. 11.36,a) в диапазоне 20 < v < 1300 , 1.0322 < P < 1.0328 заметна область неоднозначности, в которой система может находиться как в жидкой плотной фазе ( v ~ 20 ), так и в менее плотной газообразной ( v ~1300 ). При расчете в

зависимости от начального случайного распределения частиц зародыш жидкой фазы либо зацеплялся за достаточно слабую введенную в модель примесь Vimp , либо не успевал этого

сделать, что привело к появлению обеих фаз на графике. Если бы примесей было больше, то система сразу перешла бы в плотную жидкую фазу, и получить ван-дер-ваальсовские ветви не удалось бы.

При повышении температуры до T = 1.4 (рис. 11.36, b) область неоднозначности заметно сжимается по диапазону объемов, теперь 25 < v < 800 , и затем при более высоких температурах (рис. 11.36, c и 11.21, d) исчезает, так что система все время остается в газообразной фазе. Значение температуры в трикритической точке можно оценить как Tc ≈ 1.5 , что хорошо

согласуется с расчетом в приближении среднего поля.

11.5.3. Моделирование вихревой структуры в высокотемпературных сверхпроводниках

Здесь рассмотрим достаточно сложный пример моделирования методом Монте-Карло – расчет решетки Абрикосова в сверхпроводниках. Дело в том, что для корректного описания процессов перемагничивания, наблюдаемых экспериментально в сверхпроводящем состоянии, оказывается необходимым ввести в

схему Монте-Карло несколько "сортов" частиц, взаимодействующих между собой, и количество подпроцессов в алгоритме возрастает. Более того, корректный учет границы сверхпроводника приводит к дополнительным сложностям. Покажем, как в такой ситуации

361

реализовать схему Монте-Карло и правильно учесть детальный баланс.

11.5.3.1. Формулировка модели и некоторые аналитические и экспериментальные данные

Прежде чем переходить к математическим аспектам проблемы, кратко опишем достаточно сложную физическую постановку задачи, при этом не будем касаться описания самого явления сверхпроводимости (подробности см., например, в [19, 20]).

Известно, что в сверхпроводниках второго рода (типичные представители таких сверхпроводников – NbN , Nb3Sn, NbTi, а

также все высокотемпературные соединения) при промежуточных магнитных полях Hc1 < H < Hc2 (Hc1 ~100 400 Э; Hc2 20 100 Тл ) существует, помимо мейсснеровского состояния, характеризующегося идеальным диамагнетизмом, так называемое смешанное или вихревое состояние. Кривые намагничивания сверхпроводника второго рода показаны на рис. 11.37.

Рис. 11.37. Кривые намагничивания сверхпроводника второго рода: a) зависимость магнитной индукции B от внешнего поля H0 ;

при H < Hc1 B = 0 – мейсснеровское состояние;

b) зависимость плотности магнитного момента от H0 ; M = (B − H) / 4π при H < Hc1

Смешанное состояние характеризуется частичным проникновением магнитного потока в область сверхпроводника, при этом проникновение происходит через области нормальной фазы

362

цилиндрической геометрии, называемые флюксоидами, или вихрями Абрикосова, по имени российского ученого, лауреата Нобелевской премии А.А. Абрикосова, предсказавшего и описавшего это физическое явление.

Размер нормальной области (кора вихря) мал (ξ ~ 50 ÷ 100 Å), при

этом вихрь окружен вихревыми экранирующими токами на гораздо большем расстоянии λ ~ 2000 Å (рис. 11.38).

Рис. 11.38. Структура вихря в сверхпроводнике. Распределение параметра порядка ψ 2 сверхпроводника и создаваемого вихрем магнитного поля (см. (11.189)).

Заштрихованная область – кор вихря – область нормального состояния

Величина ξ называется сверхпроводящей корреляционной

длиной, а λ – глубиной проникновения магнитного поля. Внутри вихря, в нормальной области, магнитное поле максимально, вне вихря оно спадает на расстоянии ~ λ . Каждый вихрь несет в

себе квант магнитного потока Φ0 = πehc = 2.07 10−7 Гс см2 , при

этом при низких температурах в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, вихри образуют плоскую треугольную структуру (рис. 11.39), и двумерная плотность вихрей nf определяется

индукцией магнитного поля, так что nf = B / Φ0 .

363

Рис. 11.39. Вихревое состояние сверхпроводника второго рода. Вихри образуют правильную треугольную решетку. В сердцевинах вихрей – нормальное состояние

где K0 – функция Макдональда (или функция Бесселя мнимого

аргумента), при малых значениях аргумента она логарифмически возрастает, а при больших значениях экспоненциально падает:

Экспериментально решетку Абрикосова напрямую наблюдают на сколах кристаллов сверхпроводников методом магнитного декорирования (распылением мелкодисперсного ферромагнитного порошка). Также вихревые структуры можно анализировать по дифракции нейтронов над сверхпроводником благодаря наличию у нейтрона магнитного момента. Более современные методы наблюдения вихревой решетки – мюонная спектроскопия (распад

мюона в твердом теле µ+ → e+ + γµ + γe ), магнитооптические

исследования на основе эффекта Фарадея и сканирующая холловская микроскопия (системы миниатюрных холловских датчиков).

364

Кривые намагничивания сверхпроводника (см. рис. 11.37, b) экспериментально получают напрямую, измеряя его отклик на внешнее поле – магнитный момент

Исследование вихревого состояния в сверхпроводниках – чрезвычайно актуальная задача, так как все перспективные сверхпроводящие соединения, в том числе и открытые в 1986 г. высокотемпературные сверхпроводники (ВТСП), являются сверхпроводниками второго рода. При наличии транспортного тока в сверхпроводнике собственное поле тока, как правило, больше нижнего критического поля Hc1 , и сверхпроводник сразу же

переходит в вихревое состояние. Все транспортные и магнитные свойства сверхпроводников, таким образом, определяются динамикой вихревой структуры квантов магнитного потока, взаимодействие которых между собой, с дефектами и с границей сверхпроводника определяет величину критического тока, омические и гистерезисные потери, форму вольт-амперной характеристики и петель перемагничивания.

Особый случай – высокотемпературные соединения, которые характеризуются сильной анизотропией проводящих и сверхпроводящих свойств. Для задачи моделирования вихревой структуры упрощенно можно представить такой сверхпроводник как набор сверхпроводящих слоев (плоскостей), вдоль которых сверхпроводящие свойства высоки, а межслоевое пространство имеет существенно подавленные сверхпроводящие характеристики. Моделирование проводится при направлении магнитного поля, перпендикулярного слоям.

Вихрь Абрикосова, представляющий из себя вихревой ток, пронизывающий сверхпроводящие слои (рис. 11.40), имеет существенно разные упругие свойства внутри сверхпроводящего слоя и вне его, такому магнитному образованию можно приписать тензор упругих постоянных. Вне слоя вихрь более "рыхлый", а внутри имеет более высокие упругие свойства. При возрастании температуры вихри начинают переплетаться вне сверхпроводящих слоев, теряют упорядочение и межслоевую когерентность

365

(см. рис. 11.40), в то время как внутри слоев все еще сохраняется упорядочение (треугольная решетка) (так называемый фазовый переход «3D – 2D» или decoupling). При температурах T ≥ 10 K , на порядок более низких по сравнению с критической (а

в висмутовых ВТСП, например в Bi2Sr2Ca2Cu3O10 , критическая температура равна Tc ≈ 110 K ), система практически превращается

в совокупность невзаимодействующих сверхпроводящих слоев, внутри которых пронизывающие их части вихрей имеют вид плоских "блинов" ("pancakes"), которые сильно взаимодействуют друг с другом внутри слоя и практически не взаимодействуют с соседними слоями.

Рис. 11.40. Вихрь Абрикосова имеет существенно разные упругие свойства внутри сверхпроводящих слоев (заштрихованные области) и вне их. Случай a отвечает

температуре T << Tc ; при возрастании температуры до значений T ~ Tc (случай b)

вихри начинают переплетаться вне сверхпроводящих слоев, в то время как внутри слоев все еще сохраняется треугольная решетка

Выбрав один из сверхпроводящих слоев для исследования, можно написать модельный гамильтониан для плоских вихрей (pancakes) и сформулировать алгоритм Монте-Карло для этой системы. Так как из-за потери когерентности между слоями вклад каждого слоя в общие свойства системы будет аддитивен, то моделирование одной плоскости с хорошей точностью будет аналогично расчету усредненного отклика всех слоев. Как будет видно далее, из-за сложности взаимодействий данная задача принципиально не поддается аналитическому решению. Такую

366

сильнокоррелированную двумерную задачу наиболее корректно рассчитывать численными стохастическими методами.

Прежде всего приведем выражения для собственной энергии вихрей, энергии взаимодействия вихрей между собой, с дефектами структуры и с границей сверхпроводника (см. [19, 20]). В модели также будет использоваться следующая температурная зависимость глубины проникновения магнитного поля от температуры, хорошо аппроксимирующая экспериментальные данные по висмутовым ВТСП:

Такая же температурная зависимость предполагается и у сверхпроводящей длины, при этом обозначают ξ(T = 0) ≡ ξ0 .

Собственная энергия вихревой нити (на единицу длины нити) равна (см., например, [49])

это энергия, заключенная в магнитном поле, пронизывающем нормальную область (кор) вихря.

Энергия взаимодействия двух вихревых нитей описывается следующим выражением:

r

здесь δ – толщина сверхпроводящего слоя, Φ0 = Φ0n; n = ±1 –

знак магнитного поля, создавшего вихрь. Как видно из (11.194), вихри одного знака отталкиваются (Uij > 0), как и полагается

вихревым токам с одинаковым направлением закрутки (рис. 11.41).

Рис. 11.41. Взаимодействие вихрей.

Вихри разных знаков притягиваются, одного знака – отталкиваются

367

вихревой системы можно трактовать как локальную потенциальную яму.

Рис. 11.43. Притяжение вихря к дефекту

В рассматриваемой задаче будет выбран следующий вид взаимодействия вихря с дефектом:

r

Up (r) = −α U0 (T) r / 1 1 e− 2ξ , (11.196)

ξ +

здесь α – безразмерный параметр, характеризующий глубину потенциальной ямы дефекта; r – расстояние между вихрем и дефектом. Такой выбор взаимодействия соответствует случаю, когда только один вихрь может зацепиться за дефект. Явление пиннинга вихревой решетки важно для описания транспортных свойств системы, так как при наличии транспортного тока запиннингованные вихри не сдвигаются силой Лоренца, и в системе не происходит диссипации энергии вплоть до критических значений тока. Также при перемагничивании системы зацепленные дефектами вихри, имеющие противоположный полю знак, будут оставаться в системе (так называемый замороженный поток), что приводит к гистерезисным явлениям.

Взаимодействие вихрей с мейсснеровским током на границе

(рис. 11.44) и транспортным током описывается следующим образом. С любым внешним током плотностью j вихрь

взаимодействует посредством силы Лоренца, поэтому на единицу длины вихря имеем

(H(x) = H0e−x /λ ), отталкивает вихрь от границы, при этом энергия

369

взаимодействия вихря с таким током на расстоянии x от плоской границы равна работе WM тока над вихрем по перемещению вихря

от границы на расстояние x, взятой с обратным знаком:

Рис. 11.44. Мейсснеровский ток, созданный внешним полем H0 , отталкивает вихрь от поверхности

Плотность транспортного тока неравномерно распределена по сечению сверхпроводника, поэтому энергию взаимодействия вихрей с транспортным током UT следует рассчитывать в

зависимости от геометрии системы. Далее конкретизируем это взаимодействие.

Окончательно можно сформулировать модель системы вихрей в плоском сверхпроводящем слое ВТСП толщиной δ , представив их как ансамбль классических частиц на плоскости, взаимодействующих между собой, с дефектами, границей и токами согласно всем вышеперечисленным взаимодействиям:

здесь N – число вихрей в системе; rijim = ri − rjim – расстояние от i-го вихря до jim -го примесного центра. Отметим, что модель (11.199)

сформулирована для переменного числа вихрей, т.е. для условий большого канонического ансамбля.

370