МИФИ_Вычметоды КФ

В двумерном случае Онзагером в 1944 г. было показано, что в плоской квадратной решетке существует фазовый переход при температуре, удовлетворяющей уравнению [36]

341

Рис. 11.28. Зависимость удельной теплоемкости от температуры в одномерной бесконечной модели Изинга. Точное решение

Задача 11.6. Решить уравнение (11.155) относительно критической температуры и сравнить результат с решением в приближении среднего поля.

В этом случае теплоемкость в точке фазового перехода имеет логарифмическую особенность:

Трехмерная модель Изинга не имеет аналитического решения, но в этом случае с хорошей точностью справедливо приближение среднего поля, которое тем лучше, чем больше число ближайших соседей. Фазовый переход имеет место при температуре

11.5.1.2. Метод Монте-Карло для модели Изинга

Здесь будет рассмотрен метод Монте-Карло для модели Изинга, позволяющий рассчитывать вышеперечисленные термодинамические величины для достаточно большой системы спинов. Модель Изинга – одна из первых физических моделей, которая была исследована стохастическими численными методами.

Сначала перечислим различные варианты реализации принципа детального равновесия в данной модели. Будет рассматриваться канонический ансамбль в присутствии внешнего термостата с

342

конфигурациями (или базисными функциями) понимается совокупность "мгновенных" состояний всех узлов пространственной решетки спинов, например,

это такие же базисные функции, какие рассматривались при изучении спиновой статистики – собственные функции оператора

проекции спина SZ и оператора S2 , соответственно, размерность базиса будет равна 2N , N – число спинов.

Гамильтониан модели Изинга (11.131) в базисе (11.159) диагонален, поэтому каждой конфигурации n можно поставить в соответствие конкретное значение энергии:

При формировании марковской цепи каждая следующая конфигурация спинов получается из предыдущей попыткой изменения одной из степеней свободы (например, попыткой переворота одного из спинов). Новая конфигурация принимается (т.е. спин переворачивается) с вероятностью, зависящей от отношения гиббсовских весов новой и старой конфигураций. Наиболее употребительное выражение для интенсивности перехода (11.119) в этом случае – алгоритм Метрополиса – представимо в виде:

В алгоритме тепловой ванны (11.130) на каждом шаге один выбранный спин приводится в состояние равновесия с термостатом

343

при фиксированной конфигурации остальной системы. Вероятность принятия новой конфигурации определяется гиббсовскими весами двух возможных состояний:

e−βE2 W1→2 = e−βE1 + e−βE2 ;

e−βE1 (11.162)

W2→1 = e−βE1 + e−βE2 .

При расчете модели Изинга без внешнего поля можно представить еще один вариант задания интенсивности переходов. Пусть элементарный шаг алгоритма заключается в перевороте спина i: Si → −Si . Уравнение детального баланса (11.127) для этого случая

энергия взаимодействия выделенного спина i с остальными спинами (как правило, рассматриваются ближайшие соседи). Глаубер [47] предложил такое выражение для интенсивности переходов:

Соотношение (11.166) называется функцией Глаубера. Оно также удовлетворяет условию детального баланса, при этом имеется возможность подбора параметра τ для увеличения эффективности алгоритма при моделировании конкретной системы.

Сформулируем теперь конкретную схему алгоритма Монте-Карло. Она показана на рис. 11.29 для расчета модели Изинга с использованием алгоритма Метрополиса (11.128).

344

Рис. 11.31. Зависимость: a) энергии; b) магнитного момента;

c) теплоемкости (в логарифмическом масштабе); d) восприимчивости от температуры в двумерной модели Изинга, полученные методом Монте-Карло. Система 50 × 50 , внешнее поле H = 0.03

На рис. 11.31 представлены результаты моделирования двумерной модели Изинга методом Монте-Карло. Рассматривалась квадратная решетка размера 50 × 50 с периодическими граничными условиями, внешнее поле H = 0.03 . Значения теплоемкости и восприимчивости рассчитывались из флуктуаций энергии и магнитного момента

соответственно: C = NT1 2 (E2 − E2 ) , χ = 1T (M2 − M2 ) . Значение температуры фазового перехода близко к (11.155), различие связано с конечностью размера системы. Различие значений критической температуры, определенных по теплоемкости

347

(рис. 11.31, c) и восприимчивости (рис. 11.31, d), объясняется ненулевым значением внешнего магнитного поля.

Заметим, что результаты на рис. 11.31, c для теплоемкости хорошо согласуются с теоретическим результатом Онзагера (11.166).

11.5.2.Решеточный газ

Следует отметить, что рассмотренное выше моделирование спиновой системы неявно учитывало условия большого канонического ансамбля, т.е. переменного числа частиц. Роль числа частиц играла суммарная проекция спина системы на ось z, которая менялась в процессе моделирования. Так как эта величина является инвариантом модели (см. гл. 7), то алгоритм Монте-Карло может быть реализован и с сохранением суммарной проекции спина, т.е. в условиях канонического ансамбля. Такое моделирование предложил, например, Кавасаки [48], в этом алгоритме (он называется «динамикой Кавасаки») происходят одновременные перевороты пар противоположных спинов, что не изменяет полного спина системы.

Теперь рассмотрим алгоритм Монте-Карло, явно учитывающий большой канонический ансамбль и переменное число частиц; для реализации этого алгоритма потребуется некоторая модификация принципа детального баланса.

11.5.2.1. Формулировка модели и некоторые аналитические результаты

Рассмотрим простую кубическую (или квадратную) решетку с числом узлов Na = Lx × Ly × Lz (или, соответственно, Na = Lx × Ly ).

Каждому узлу решетки поставим в соответствие числа заполнения ni = 0; 1, моделирующие нахождение или отсутствие частицы в

данном узле (рис. 11.32). Полное число состояний в системе совпадает с числом состояний в модели Изинга: 2Na . Граничные

348

условия можно выбрать либо периодическими, либо нулевыми (в этом случае частицы не пересекают границы решетки). Для достаточно большой системы влиянием граничных условий на термодинамику системы можно пренебречь.

Данная постановка задачи напоминает рассмотренную в начале главы задачу перколяции, однако, в отличие от простой стохастической схемы для идеальных невзаимодействующих частиц, здесь будем рассматривать газ взаимодействующих частиц на решетке и применим для реализации алгоритма схему Метрополиса.

40

35

30

25

20

15

10

5

Рис. 11.32. Модель решеточного газа на квадратной решетке 40 × 40 . Точки соответствуют узлам решетки, занятым частицами

Пусть взаимодействие частиц друг с другом Vij носит ван-дер-

ваальсовский характер, так чтобы на бесконечности частицы притягивались, а сблизиться им мешало очень сильное отталкивание. Пример такого взаимодействия – потенциал Леннарда – Джонса (или потенциал "6–12") между атомами инертных газов (рис. 11.33), физическая причина которого – наведенное диполь-дипольное взаимодействие:

349

здесь ε,σ – параметры потенциала: характерный масштаб энергии и характерное межчастичное расстояние.

Взаимодействие Vij не обязательно должно иметь вид (11.170).

Можно рассмотреть и другие, достаточно сложные формы межчастичного взаимодействия. Схема алгоритма Монте-Карло при этом не изменится. В этом состоит одно из важных преимуществ метода Монте-Карло.

Rij

Рис. 11.33. Потенциал Леннарда – Джонса для параметров ε = 1; σ = 0.1

Определим безразмерную плотность частиц в такой постановке задачи как

здесь N – среднее полное число частиц в системе (число занятых узлов), угловые скобки означают термодинамическое усреднение. Соответственно, за объем системы выбрано число пространственных узлов решетки Na . Модельный гамильтониан,

описывающий систему, представляется следующим выражением:

350