P(Ω′,t). (11.121)
Каждому шагу Ωi → Ω j марковского процесса можно условно
поставить в соответствие промежуток времени dt, время расчета шага, это время отражает масштаб реального времени релаксации физической системы. Предел отношения вероятности перехода к этому промежутку времени
WΩ′→Ω = lim PΩ′→Ω (11.119)
dt→0 dt
называется интенсивностью перехода или плотностью вероятности перехода. Предел (11.119) понимается в смысле того, что полное время расчета много больше dt, так что можно аппроксимировать дискретные шаги непрерывным процессом.
Последнее из соотношений (11.118) можно с учетом эволюции системы во времени t переписать следующим образом:
P(Ω,t + dt) = ∑PΩ′→Ω,dt P(Ω′,t) , |
(11.120) |
Ω′ |
|
где PΩ′→Ω,dt – условная вероятность перехода системы из состояния
Ω′ в состояние Ω за время dt. Далее выделим в (11.120) слагаемое с Ω′ = Ω :
P(Ω,t + dt) = PΩ→Ω,dt P(Ω,t) + ∑PΩ′→Ω,dt
Ω′≠Ω
Соотношение сохранения вероятностей, второе в (11.118), можно представить следующим образом:
|
PΩ→Ω,dt |
= 1 − ∑PΩ→Ω′,dt . |
(11.122) |
|
|
Ω′≠Ω |
|
|
Подставив (11.123) в (11.122), получаем: |
|
|
P(Ω,t + dt) = P(Ω,t)(1 − ∑PΩ→Ω′,dt ) + ∑PΩ′→Ω,dt P(Ω′,t) |
(11.123) |
|
Ω′≠Ω |
Ω′≠Ω |
|
|
|
P(Ω,t + dt) − P(Ω,t) = − ∑PΩ→Ω′,dt P(Ω,t) + ∑PΩ′→Ω,dt P(Ω′,t). |
|
Ω′≠Ω |
Ω′≠Ω |
|
Поделив (11.123) на dt и учитывая определение (11.119), эволюцию вероятности P(Ω) можно описать в виде своеобразного уравнения
баланса или скоростного уравнения, описывающего производную по времени – времени расчета – этой величины:
dP(Ω) |
= − ∑WΩ→Ω′ P(Ω) + ∑WΩ′→Ω P(Ω′) . (11.124) |
dt |
Ω′≠Ω |
Ω′≠Ω |
Первый член справа в (11.124) описывает скорость всех переходов из состояния Ω во все другие состояния, а второй – скорость переходов из всех состояний, отличных от Ω , в состояние Ω . Слагаемые с Ω′ = Ω в обеих суммах компенсируют друг друга. Выражение (11.124) называется также уравнением Колмогорова (или уравнением Колмогорова – Чэпмена, см. [2]).
В состоянии равновесия производная |
dP |
в (11.124) равна нулю, и |
|
|
dt |
|
|
∑WΩ→Ω′ P(Ω) = ∑WΩ′→Ω P(Ω′) . |
(11.125) |
Ω′ |
Ω′ |
|
|
|
Используя (11.125), можно убедиться в справедливости соотношения, аналогичного последнему соотношению в (11.118):
∑WΩ′→Ω P(Ω′) = |
P(Ω) . |
(11.126) |
Ω′ |
dt |
|
Для облегчения дальнейшего практического применения уравнения детального баланса, на (11.125) можно наложить более сильные ограничения. Потребуем, чтобы (11.125) было справедливо для каждого состояния Ω′ под знаком суммы:
WΩ→Ω′ P(Ω) = WΩ′→Ω P(Ω′) . |
(11.127) |
Соотношение (11.127) называется условием детального равновесия или детального баланса. Это соотношение дает существенную свободу при выборе интенсивности переходов.
Приведем два из наиболее употребительных вариантов выбора интенсивности переходов, удовлетворяющей детальному балансу. Алгоритм Метрополиса [44, 45] использует следующий вид WΩ′→Ω :
P(Ω′) |
, если |
P(Ω′) |
< 1; |
|
|
P(Ω) |
P(Ω) |
|
(11.128) |
WΩ′→Ω = |
1, если P(Ω′) ≥ 1. |
|
|
|
P(Ω) |
|
|
|
|
Несложно убедиться прямой подстановкой, что условие (11.127) справедливо для (11.128).
Задача 11.2. Убедиться в справедливости (11.127) при условии (11.128).
Можно сформулировать более общий вариант алгоритма Метрополиса, выбрав WΩ′→Ω следующим образом:
W |
|
1 |
; |
1 P(Ω′) |
, |
(11.129) |
= min |
|
|
Ω′→Ω |
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
τ P(Ω) |
|
|
где τ ~1 – произвольная константа. Соотношение (11.127) также удовлетворяет условию (11.129) при любом параметре τ . Варьируя параметр τ , можно менять скорость сходимости алгоритма МонтеКарло.
Задача 11.3. Убедиться в справедливости (11.127) при условии (11.129).
В алгоритме тепловой ванны (thermal bath) используется следующий вид интенсивности переходов:
|
P(Ω′) |
(11.130) |
WΩ′→Ω = |
|
, |
P(Ω) + P(Ω′) |
|
это выражение также удовлетворяет детальному балансу (11.127).
Задача 11.4. Убедиться в справедливости (11.127) при условии (11.130).
11.5. Практическая реализация методов Монте-Карло
Для демонстрации эффективности методов Монте-Карло рассмотрим их использование при исследовании различных физических моделей.
11.5.1.Модель Изинга
11.5.1.1.Формулировка модели и некоторые аналитические результаты
Рассмотрим уже упоминавшуюся в гл. 7 модель Изинга
ˆ |
1 |
Z |
Z |
Z |
, |
(11.131) |
H = − |
2 |
∑JijSi |
Sj |
− H∑Si |
|
ij |
|
i |
|
|
здесь SiZ = ±1 – проекция спина на узле i, H – внешнее поле, Jij –
обменный интеграл. В этой модели на каждом узле есть только две степени свободы. Модель Изинга наиболее проста, наглядна и достаточно удобна при изложении отдельных проблем теории магнетизма, а также для численного моделирования.
Кратко остановимся на известных аналитических результатах для модели Изинга.
Основное состояние модели Изинга при нулевой температуре совпадает с основным состоянием модели Гейзенберга, когда спины «заморожены» и ориентированы либо вдоль поля (ферромагнитное состояние, случай Jij > 0 ), либо чередуются (антиферромагнитное
состояние, случай Jij < 0 ):
|
... ↑↑↑↑↑↑↑ ... |
Jij > 0; |
(11.132) |
|
... ↑↓↑↓↑↓↑ ... |
Jij < 0. |
|
|
В обоих случаях основное состояние модели Изинга является упорядоченным состоянием со спонтанной намагниченностью, и
только при достаточно большой температуре ( Θ ~103 K ),
называемой температурой Кюри для ферромагнетика и температурой Нееля для антиферромагнетика, происходит фазовый переход в неупорядоченное, парамагнитное состояние. Средний магнитный момент системы в ферромагнитном состоянии максимален, а в антиферромагнитном равен нулю.
Будем рассматривать в (11.131) взаимодействие только с ближайшими соседями, поэтому полагаем все обменные интегралы Jij одинаковыми и равными некоторой постоянной величине J
размерности энергии (обычно обменное взаимодействие в реальных физических системах имеет масштаб J ~ 0.1 ÷ 1 эВ ).
Рассмотрим решение модели Изинга в приближении среднего поля [10, 46]. В этом приближении суммарное поле Hi ,
действующее на спин i,
Hi = J∑SZj + H |
(11.133) |
j |
|
(здесь суммирование производится по всем соседям узла i), заменяется его средним значением:
Hi → Hi = J∑ SZj + H = JZ SZj + H, |
(11.134) |
j
где Z – число ближайших соседей.
В приближении среднего поля и ближайших соседей [46] для ферромагнитного случая можно получить самосогласованное уравнение для среднего магнитного момента, приходящегося на один узел (рис. 11.22):
|
|
|
|
|
|
|
H + ZJR |
, |
|
|
(11.135) |
|
|
|
|
|
R = th |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
здесь |
R = |
SZj |
= M/N; N – |
число |
узлов |
в |
системе; |
M |
– полный |
магнитный момент, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M = |
N↑ |
− N↓ |
, |
|
|
(11.136) |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
N |
↑ |
, N |
– среднее |
число |
спинов |
с SZ = +1 |
и |
SZ = −1, |
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответственно, а усреднение ... |
понимается как усреднение по |
каноническому ансамблю Гиббса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
= ∑ |
Ane−βEn |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.137) |
|
|
|
|
|
|
|
n |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z = ∑e−βEn ; β = 1/ T.
n
Температура Кюри, при которой магнитный момент обращается в нуль в нулевом внешнем поле, в приближении среднего поля равна
Это температура фазового перехода «ферромагнетик – парамагнетик», при этом роль параметра порядка для этого фазового перехода играет величина R.
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0.9 |
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
0.7 |
|
|
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
|
R |
0.5 |
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
0.3 |
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
|
|
|
|
T |
|
|
Рис. 11.22. Зависимость среднего магнитного момента от температуры в одномерной модели Изинга в приближении среднего поля и ближайших соседей.
Внешнее поле H = 0 ; Z = 2; J = 1
В предельных случаях малых температур и вблизи температуры Кюри средний магнитный момент, описываемый в общем случае в отсутствие внешнего магнитного поля уравнением
|
R |
|
Θ |
|
|
|
(11.139) |
|
= th |
R , |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
ведет себя следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
R = 1− 2e |
−2 |
Θ |
T → 0; |
|
|
|
|
T , |
|
|
R2 = 3y − 12 y2 |
, T → Θ, y = |
Θ − T |
<< 1. |
(11.140) |
|
|
5 |
|
|
|
|
Θ |
|
|
Экспериментально |
измеряемую |
|
удельную |
магнитную |
восприимчивость системы можно рассчитать следующим образом:
χ = |
1 ∂M |
= |
1 |
2 |
− M |
2 |
). |
(11.141) |
N ∂H |
|
H→0 |
N |
( M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение (11.141) можно рассчитать в приближении среднего поля. Вблизи точки фазового перехода магнитная восприимчивость ферромагнетика подчиняется закону Кюри (рис. 11.23):
χ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.9 |
1.92 |
1.94 |
1.96 |
1.98 |
2 |
2.02 |
2.04 |
2.06 |
2.08 |
2.1 |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
Рис. 11.23. Зависимость восприимчивости от температуры в модели Изинга |
|
в приближении среднего поля и ближайших соседей. |
|
|
|
|
Внешнее поле H = 0 ; Z = 2; J = 1 |
|
|
|
Выражение для восприимчивости в приближении среднего поля и при H → 0 выглядит следующим образом:
χ = |
1 − R2 |
|
|
, |
(11.143) |
T − Θ(1 − R |
2 |
) |
|
|
|
|
в предельных случаях
|
|
4 |
|
−2 |
Θ |
|
|
|
|
|
e |
|
T , |
T → 0; |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, T → Θ − 0; |
|
|
χ = |
|
|
|
|
|
(11.144) |
|
2(T − Θ) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, T → Θ + 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Θ − T |
|
|
|
|
|
|
Приведем также соотношения для теплоемкости и свободной энергии в приближении среднего поля, выраженные через параметр порядка R:
F = −TlnZ = |
NH |
R |
|
|
|
H + H |
|
|
|
|
0 |
|
− TN ln 2ch |
|
0 |
|
; H = ZJR; |
|
|
2T |
|
|
|
|
T |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(11.145) |
C |
= |
dE |
= − |
NΘ dR2 |
= −T |
∂2F |
. |
|
|
|
|
|
|
|
dT |
2 dT |
∂T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
337 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
численном |
моделировании |
теплоемкость |
системы |
предпочтительней рассчитывать через флуктуацию энергии: |
|
|
C = |
1 |
( E2 − E 2 ) . |
(11.146) |
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
Качественная температурная зависимость теплоемкости от температуры в приближении среднего поля показана на рис. 11.24.
Рис. 11.24. Качественная температурная зависимость теплоемкости от температуры
вприближении среднего поля (штриховая линия) и
сучетом флуктуаций (сплошная линия)
Учет флуктуаций, т.е. выход за рамки пиближения среднего поля, приводит к характерной для фазового перехода второго рода особенности теплоемкости в точке перехода (сплошная линия на рис. 11.24) [46].
В предельных случаях приближение среднего поля дает следующие результаты:
|
3 |
N, |
T → Θ; |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.147) |
C = |
Θ |
2 |
Θ |
|
|
Ne |
−2 T |
, |
T → 0. |
|
4 |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
338
В случае антиферромагнитной модели ( J < 0 ) средний магнитный момент в упорядоченном состоянии равен нулю, и для описания системы ее искусственно разделяют на две подрешетки (со спином +1 и со спином −1), так что модель Изинга в приближении среднего поля описывается уже двумя параметрами порядка:
|
|
+ |
|
ZJR |
− |
− H |
|
|
|
R |
|
|
|
; |
|
|
= −th |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.148) |
|
|
|
|
ZJR+ |
− H |
|
|
R− |
, |
|
= −th |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при этом выражение для точки фазового перехода (температуры Нееля) совпадает с выражением для температуры Кюри в случае ферромагнетика:
|
Θ = ZJ . |
(11.149) |
Принципиально |
отличается |
поведение |
восприимчивости |
(рис. 11.25), которая испытывает не расходимость, а только излом производной в точке T = Θ :
|
1 − R2 |
(11.150) |
χ = |
T + (1 − R2 )Θ , |
где R(T) удовлетворяет уравнению (11.139).
В предельных случаях восприимчивость (11.150) описывается следующими соотношениями:
|
4 |
|
|
|
−2 |
Θ |
|
|
|
|
|
e |
|
T , T → 0; |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(1 − y), y = |
Θ − T , T → Θ − 0; |
|
χ = |
|
|
(11.151) |
|
|
|
|
2Θ |
|
|
Θ |
|
|
|
1
, T → Θ + 0.
Θ + T
Рис. 11.25. Качественный рисунок зависимости восприимчивости антиферромагнетика от температуры в приближении среднего поля. В отличие от ферромагнитного случая, восприимчивость не расходится в точке перехода, а имеет разрыв производной
Модель Изинга (11.131) при Jij ≡ J решена точно для одномерного
и двумерного случаев. Статистическая сумма для одномерной замкнутой изинговской цепочки уже рассчитывалась в гл. 7 (см. (7.90)). Пользуясь результатами разд. 7.4.3, можно показать, что для бесконечной системы (N → ∞ ) фазовый переход «ферромагнетик – парамагнетик» отсутствует, и магнитный момент является аналитической функцией температуры и внешнего поля (рис. 11.26):
|
R = − |
1 ∂F |
= |
|
shβH |
. |
(11.152) |
|
|
|
|
|
|
N ∂H |
|
|
|
sh2 βH + e−4βJ |
|
|
|
|
|
|
|
Соответственно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ = βe2βJ . |
|
(11.153) |
В температурной зависимости восприимчивости отсутствуют особенности как для ферромагнетика, так и для антиферромагнетика (рис. 11.27), что соответствует отсутствию фазового перехода в одномерном случае.
Для теплоемкости при нулевом магнитном поле имеем
|
C = N |
(βJ)2 |
, |
(11.154) |
|
ch2 βJ |
|
|
|
эта кривая также не имеет особенностей (рис. 11.28).
340
