МИФИ_Вычметоды КФ

Таким образом, выбор функции (11.94) в качестве функции распределения приводит к наименьшей ошибке (11.96), т.е. низшей границе неравенства (11.93). Такой расчет интеграла с наиболее близкой к (11.94) плотностью распределения называется

существенной выборкой.

Для иллюстрации эффективности такого выбора приведем тестовый пример. Допустим, требуется рассчитать интеграл

методом Монте-Карло. Используем для расчета интеграла различные нормированные функции распределения, также определенные на интервале (0,π /2) :

2 p1(x) = π ;

p3 (x) = 3 2 x

π π

(рис. 11.20).

321

На рис. 11.21 показан процесс сходимости расчетного значения интеграла I (11.97) к точному значению в зависимости от числа N сгенерированных случайных точек.

322

Таким образом, эффективность алгоритма Монте-Карло напрямую зависит от удачного выбора функции распределения моделируемой случайной величины.

Эффективность метода Монте-Карло также связана с так называемой конструктивной размерностью рассчитываемых величин. Пусть необходимо рассчитать математическое ожидание случайной величины ξ . Если для расчета случайной величины ξ

броуновском движении определение нового положения частицы связано с получением трех новых случайных чисел x,y,z , т.е.

конструктивная размерность алгоритма равна размерности задачи. Вообще любое моделирование методом Монте-Карло можно рассматривать как моделирование точки с декартовыми координатами (R1 ,...,Rn) , равномерно распределенной в n-мерном

единичном кубе

Эффективность расчета зависит также от трудоемкости алгоритма. Рассмотрим опять задачу расчета математического

ожидания величины ξ : ξ = Mξ . После генерации N значений случайной величины имеем оценку

ξ ≈ 1 ∑N ξi . (11.103)

N i=1

Каждый расчет величины ξi проводится по определенному

алгоритму, который может заключать в себе как генерацию нескольких случайных чисел, так и другие вспомогательные процедуры. Обозначим через t время расчета одного значения ξi

(величина t может измеряться, например, в микросекундах, а может отражать число элементарных операций). Будем полагать, что t

324

определено для конкретного компьютера. Очевидно, полное время расчета равно

трудоемкостью алгоритма Монте-Карло. Чем больше время, затрачиваемое на реализацию одного случайного значения в (11.103), тем больше погрешность при одном и том же времени счета.

Эффективность метода Монте-Карло растет с размерностью рассчитываемого интеграла. Расчет двумерных и трехмерных интегралов методом Монте-Карло более эффективен, чем расчет при помощи разностных схем. Метод Монте-Карло с успехом используется для различных физических и математических задач и процессов: для моделирования систем массового обслуживания, информационных потоков, процессов протекания, процессов распространения нейтронов в средах и т.д.

Все вышеизложенное касается только классических задач. Для квантовых моделей и термодинамики существуют более совершенные алгоритмы, специально адаптированные под конкретные проблемы. Они будут рассмотрены позже.

325

11.4. Марковская цепь и принцип детального равновесия

11.4.1. Марковская цепь. Понятие эргодичности

Для дальнейшего изложения необходимо ввести понятие

марковского процесса, или марковской цепи. Допустим, моделируется броуновское движение, и на каждом вычислительном (и временном) шаге одна из частиц перемещается на какое-то расстояние, что приводит к новому расположению частиц. После передвижения частица «не помнит» своего начального положения, т.е. информация о предыдущем состоянии «стирается». Случайное блуждание является примером марковской цепи. На каждом шаге появляется новое состояние системы, и процесс представляет собой цепь последовательных состояний. Переход из предыдущего состояния в новое зависит только от предыдущего состояния, или, точнее, вероятность нахождения системы в данном состоянии зависит только от предыдущего состояния. Обозначим через

x0 ,x1 ,...,xn ,... (11.107) последовательность состояний, где под xi подразумеваются все

степени свободы рассматриваемой системы (например, совокупность координат и импульсов), описывающие ее состояние (система может быть многочастичной). Например, xi может

обозначать какую-либо из базисных функций системы, и тогда (11.107) описывает последовательные переходы от одной базисной функции к другой.

вероятность перехода), тогда марковскую цепь можно определить как последовательность x0 ,x1 ,...,xn ,... состояний системы, если

для любого n выполняется условие:

326

P(x0 ,x1 ,...,xn ) = P(x0 )Px0 →x1 ...Pxn−2 → xn−1 Pxn−1 →xn , (11.110) здесь P(x0 ) – абсолютная вероятность реализации состояния x0 .

Согласно (11.110), любую реализацию последовательности состояний x0 ,x1 ,...,xn можно получить из начального состояния

x0 , вероятность реализации такой последовательности будет

Существует инвариантное распределение состояний системы P(xi) , которое не зависит от начальных условий, и

достичь которого позволяет марковская цепь.

Например, для канонического ансамбля таким инвариантным распределением является распределение Гиббса:

где H – гамильтониан системы.

Для того, чтобы марковская цепь могла достичь инвариантного распределения, на вероятности переходов (11.109) следует наложить ряд условий.

Во-первых, определим само понятие инвариантного или стационарного распределения вероятностей P(xi) следующими

условиями:

i

P(xj) = ∑P(xi)Pxi →xj .

i

Последнее условие в (11.113) означает, что абсолютная вероятность каждого состояния складывается из всех возможных

327

переходов системы в это состояние. Матрица переходов Pxi→xj

называется стохастической.

Марковская цепь называется неприводимой, если каждое ее состояние может быть получено из каждого другого состояния (возможно, через ряд других состояний и переходов). Таким образом, в неприводимой марковской цепи не может быть «ловушек» – состояний или групп состояний, достигнув которых, система уже не выходит из них.

Состояние, входящее в марковскую цепь, называется периодическим, если, достигнув этого состояния, система возвращается в него через определенное число шагов (период). Если таких состояний нет, марковская цепь называется апериодической, и тогда состояния также называются апериодическими.

Пусть Px(ni→) xj обозначает вероятность того, что в процессе, стартующем из состояния xi , первый переход в xj осуществляется

∞

на n-м шаге. Кроме того, пусть Px(i0→) xi = 0 , тогда Pxi→xj = ∑Px(in→) xj

n=1

есть вероятность того, что, стартуя из состояния xi , система пройдет через состояние xj . Если при этом Pxi→xj = 1, то состояние

∞

xi называется устойчивым, а величина i = ∑nPx(in→) xj – средним

n=1

возвратным временем.

Марковская цепь, состоящая из апериодических и устойчивых с конечным временем возврата состояний называется эргодической или связной, и сами состояния, составляющие ее, также называются эргодическими.

Теперь сформулируем важное для приложений утверждение.

Неприводимая апериодическая марковская цепь имеет

инвариантное распределение тогда и только тогда, когда она является эргодической. Другими словами, для достижения инвариантного распределения марковский процесс должен быть

328

сконструирован так, чтобы за некоторое конечное число шагов из любого состояния xi можно было бы достичь любого другого

состояния xj . При этом число таких шагов не должно быть

сравнимо с длиной всей марковской цепи. В этом и заключается практическое руководство для реализации эргодической схемы.

Задача 11.1. Доказать, что стохастическая матрица

не реализует неприводимую марковскую цепь.

11.4.2.Принцип детального равновесия

Основная задача статистической механики, как уже отмечалось ранее, состоит в расчете наблюдаемых термодинамических величин из статистического усреднения:

Z = ∫dΩ ρ(Ω).

Здесь интегрирование производится по всему фазовому пространству Ω , ρ – функция распределения (в частном случае –

распределение Гиббса (11.109)).

Среднее (11.114) в общем случае представляет собой многомерный интеграл по фазовому пространству. Общие правила расчета этого интеграла методом предпочтительной выборки в рамках алгоритма Монте-Карло справедливы и здесь. Допустим, создана цепь случайных состояний Ωi для оценки интегралов (11.114) с

некоторым заданным распределением P(Ω) . Тогда справедлива оценка

329

Так как распределение (11.116) является инвариантным для рассматриваемой системы, марковская цепь на основе такого распределения должна быть эргодической. Сформулируем принцип, согласно которому можно сконструировать алгоритм реализации распределения (11.116).

Прежде всего, для эргодичности схемы должны быть выполнены условия (11.113), и для практической реализации алгоритма необходимо выполнение дополнительных ограничительных условий на вероятности перехода:

P(Ω) = ∑PΩ′→Ω P(Ω′).

Ω'

Первое условие – вероятности переходов должны выбираться неотрицательными. Второе условие означает, что полная вероятность того, что система перейдет из любого состояния Ω в какое-либо другое состояние, равна единице, т.е. из состояния Ω обязательно есть выход, оно не является «ловушкой». Третье условие эквивалентно последнему из соотношений (11.113) и означает, что искомое распределение P(Ω) – инвариантное, т.е.

сумма вероятностей перехода из всех состояний в данное Ω реализует вероятность этого события P(Ω) .

330