МИФИ_Вычметоды КФ

друг к другу на соседних узлах и отделенных от других частиц по крайней мере первой координационной сферой (рис. 11.17), называется кластером. В системе может существовать кластер, который свяжет слева направо или снизу вверх всю систему – стягивающий кластер (рис. 11.18). Это означает, что в системе достигнут предел перколяции.

Рис. 11.17. Кластеры частиц в задаче перколяции

Рис. 11.18. Пример стягивающего кластера. В системе возможно протекание снизу вверх

Вероятность появление стягивающего кластера связана с параметром задачи – вероятностью p: для данного линейного размера решетки L при p < pc (L) на решетке существуют только

конечные кластеры, а при p ≥ pc (L) появляется стягивающий

311

кластер. Задача заключается в определении порога перколяции для бесконечной решетки, т.е. в определении pc (L → ∞).

Моделирование этой задачи происходит таким образом: сначала обнуляется заполнение всех узлов. Затем сканируется каждый узел квадратной решетки, и датчиком случайных чисел для каждого узла

Просканировав всю решетку, создаем конкретную конфигурацию расположения частиц и определяем, есть ли в системе стягивающий кластер. Если он существует, конфигурация считается успешной и ей присваивается индекс "1", если же нет, то конфигурации присваивается индекс "0". Далее обнуляем заполнение решетки и повторяем всю процедуру заново. После генерации достаточно большого числа конфигураций рассчитывается вероятность появления стягивающего кластера p∞ (L,p) как отношение числа успешных конфигураций к числу всех

реализаций. Меняя параметр p , повторяем процедуру. Действуя таким образом, можно получить зависимость p∞ (L) = f(p) . При

увеличиваем размер системы L и повторяем расчет, находя pc (L) ;

порог перколяции в бесконечной системе определяется исходя из асимптотической зависимости pc от размера системы.

Заметим, что задача о перколяции тесно связана с моделированием протекания тока в реальных физических системах, с моделированием систем джозефсоновских контактов в сверхпроводниках и с другими физическими задачами.

Приведенные выше примеры достаточно просты, так что их напрямую можно использовать для стохастического моделирования. В реальных системах из-за межчастичного взаимодействия, внешних полей, неоднородности пространства для эффективности алгоритма моделирование должно проводиться с учетом всех этих факторов, и использование методов Монте-Карло становится специфичным для каждой конкретной задачи.

312

a

Из (11.61) видно, что дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения. Например, для случайной величины, равномерно распределенной на интервале (0,1) , Mξ = 1/2 , Dξ = 1/12 .

Если имеются две статистически независимые случайные величины

ξи η , то математическое ожидание и дисперсия являются

аддитивными функциями:

M(ξ + η) = Mξ + Mη;

(11.62)

D(ξ + η) = Dξ + Dη.

Для нормального распределения (распределения Гаусса), которое рассматривалось в разд. 11.1.2, с функцией распределения

Любые вероятности нормально распределенной величины вычисляются с помощью интеграла вероятностей (или

интеграла ошибок)

С помощью преобразования интегралов несложно показать, что

314

Нормальное распределение играет чрезвычайно важное значение для стохастических численных методов. Нормальные случайные распределения очень часто встречаются при исследовании самых различных систем, как чисто математических, так и физических.

Последняя формула интерпретируется так: при одном испытании практически невозможно получить значение ξ , отличающееся от

Mξ больше, чем на 3σ .

На практике в качестве погрешности часто выбирают не 3σ , а другую величину – так называемую вероятную ошибку. Если рассмотреть величину r = 0.6745σ , то

315

Значит, для случайной величины ξ вероятность отклониться от

своего среднего значения больше чем на r, и меньше чем на r, одинакова.

Рассмотрим теперь очень важную для дальнейшего описания

методов Монте-Карло центральную предельную теорему теории вероятностей. Эта замечательная теорема впервые была сформулирована П. Лапласом и обобщена позднее П.Л. Чебышевым, А.А. Марковым, А.М. Ляпуновым. Доказательство ее достаточно сложно и выходит за рамки данной книги, его можно найти, например, в [2, 43].

Прежде всего отметим, что нормальное распределение обладает особыми свойствами. Если есть две независимые величины ξ и η ,

нормально распределенные с дисперсиями, соответственно, σ1 и σ2 и математическими ожиданиями a1 и a2 , то, кроме того, что, согласно свойству (11.62), математическое ожидание и дисперсия

одинаковым, но необязательно нормальным распределением вероятностей. Очевидно, что математические ожидания и дисперсии этих величин совпадают. Обозначим

Mξ1 = Mξ2 = ... = MξN = m;

ρN = ξ1 + ξ2 + ...+ ξN.

316

Для распределения суммы независимых случайных величин справедливо

MρN = M(ξ1 + ξ2 + ...+ ξN) = Nm;

Рассмотрим теперь случайную величину ζN , распределенную

нормально с такими же параметрами: a = Nm; σ = bN . Обозначим ее функцию распределения через pζN (x) .

Центральная предельная теорема утверждает, что для любого интервала (a′,b′) при достаточно больших N имеем:

a′

Смысл (11.74) очевиден: сумма большого числа одинаковых

случайных величин приближенно нормальна. Более того, обобщение этой теоремы гласит, что необязательно все слагаемые должны быть независимы и одинаково распределены, важно, чтобы отдельные слагаемые не играли большой роли в сумме. Эта теорема и объясняет, почему нормальные случайные величины так часто встречаются в природе: при исследовании системы обычно имеют дело с суммарным воздействием большого числа случайных факторов, в результате формирующих общий «гауссиан».

Теперь можно сформулировать наиболее общую схему метода Монте-Карло. Пусть требуется вычислить среднее значение A

какой-либо физической величины A:

i

или, в более общем виде (см. (9.1)),

i

где wi – статистический вес, соответствующий собственному состоянию i системы.

317

11.3. Расчет интегралов методом Монте-Карло

Для конкретизации представленной в предыдущем разделе общей схемы рассмотрим теперь практическую задачу расчета определенного интеграла методом Монте-Карло. Эту задачу, конечно, можно свести к приведенной в начале параграфа задаче о расчете площади фигуры, но, как правило, такой способ не будет эффективным.

Рассмотрим функцию g(x) , заданную на интервале (a,b). Пусть необходимо вычислить интеграл

b

Для расчета выберем произвольную плотность распределения p(x), определенную на том же интервале, причем

где ξ – случайная величина, распределенная с плотностью p(x) на (a,b). Тогда математическое ожидание η будет равно искомому интегралу:

Рассмотрим N независимых случайных величин η1 ,η2 ,...,ηN и применим к их сумме центральную предельную теорему, тогда

Таким образом, если выбрано N случайных значений ξ1 ,ξ2 ,...,ξN , то при достаточно большом N

319

и погрешность расчета не превосходит 3Dη /N , где

Соотношения (11.86) и (11.87) для расчета интеграла и оценки погрешности получены корректно с учетом центральной предельной теоремы. Следует отметить, что сходимость результата (11.86) к точному значению следует также из закона больших чисел, согласно которому для любого ε > 0

Более того, справедлив усиленный закон больших чисел:

Для оптимального расчета интеграла с минимальной погрешностью следует выбирать распределение p(x), пропорциональное g(x)

или, по возможности, близкое к этому. Докажем это утверждение.

Воспользуемся известным неравенством Коши – Буняковского в интегральном виде:

Комбинируя (11.92) и определение дисперсии (11.87), находим оценку снизу для дисперсии:

320