МИФИ_Вычметоды КФ

Так как R равномерно распределено на (0,1), то

b′

a′

что и означает: величина ξ имеет плотность распределения p(x).

Таким образом, согласно (11.8), для нахождения необходимого распределения следует искать обратную функцию F−1(x) .

Рассмотрим далее простой пример.

Пусть необходимо получить величину ξ , равномерно

распределенную на интервале (a,b). Нормированная плотность распределения ξ имеет вид

т.е. в данном случае следует всего лишь сдвинуть отсчет и изменить масштаб исходной случайной величины R.

Рассмотрим теперь экспоненциальное распределение. Случайные величины, имеющие экспоненциальное распределение, встречаются, например, в задачах о радиоактивном распаде.

Пусть необходимо получить случайную величину, распределенную на (0,∞) с функцией распределения

292

будет иметь экспоненциальное распределение (рис. 11.3).

Рис. 11.3. Гистограмма экспоненциально распределенных случайных величин (внизу) получена из равномерного распределения (вверху) методом обратной функции (4.22). По вертикальной оси отложено число точек распределения, попадающих в соответствующий интервал гистограммы, общее число точек равно 100000

Одним из важных распределений случайных величин в физике является распределение Пуассона, характеризующее число реализаций в единицу времени событий, каждое из которых может произойти в любой момент. Например, процесс альфа-распада описывается распределением Пуассона.

Дискретная случайная величина ξ имеет закон распределения Пуассона с параметром , если она принимает значения 0, 1, 2, … , m, … с вероятностью

293

при этом математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия ξ совпадают и равны :

Следующий алгоритм позволяет получать случайные величины, распределенные по закону Пуассона, используя равномерно распределенные случайные величины:

1) рассчитывается число p = e−µ ; задаются числа N = 0 и q = 1;

2)генерируется число R, равномерно распределенное на (0,1);

3)производится перенормировка q → qR ;

4) если q ≥ p , то значение N увеличивается на единицу:

N → N + 1 , и возвращаемся к пункту 2;

5) если q < p , то число ξ = N имеет закон распределения Пуассона.

Блок-схема алгоритма показана на рис. 11.4.

На рис. 11.5 показана гистограмма случайных величин, имеющих распределение Пуассона с параметром µ = 3.5 , полученных при

помощи алгоритма на рис. 11.4.

Правильность алгоритма основывается на следующем факте, известном из теории вероятностей [2]: пусть имеется ряд случайных чисел R1 ,R2 ,...,Rn ,Rn+1 ,..., равномерно распределенных

на (0,1). Тогда

P{(R1 > q) I (R1R2 ≥ q) I ...I (R1R2...Rn ≥ q) I (R1R2...RnRn+1 < q)} =

294

Однако интеграл (11.10) не всегда можно взять аналитически. Дж. фон Нейман предложил следующий способ обойти эту проблему.

Предположим, что случайная величина ξ определена на интервале

Тогда генерируются два случайных числа R1 ,R2 , равномерно

точка лежит ниже кривой y=p(x), т.е. x2 < p(x1) (точка А на рис. 11.6), то искомое число ξ = x1 найдено; если же точка лежит выше кривой (точка В на рис. 11.6), то пара R1 ,R2 отбрасывается и выбирается новая пара.

Рис. 11.6. Метод фон Неймана генерации случайных чисел с плотностью распределения p(x)

Метод фон Неймана является достаточно универсальным, однако для частных случаев существуют более эффективные алгоритмы. Рассмотрим далее некоторые из них.

Необходимо отметить еще один, достаточно универсальный метод получения случайных чисел ξ , определенных на интервале (a,b) ,

296

с заданной плотностью распределения f(x) . Для этого достаточно просто разрешить уравнение

относительно ξ , где R – равномерно распределенная на единичном

отрезке случайная величина. Даже если интеграл (11.10) нельзя взять аналитически, его всегда можно рассчитать численно на компьютере при помощи одного из методов численного решения трансцендентных уравнений (например, методом деления отрезка пополам, методом Ньютона или методом простых итераций). Дело в том, что интеграл в (11.10) как функция ξ – монотонная величина,

так что всегда существует единственное решение (11.10).

Расчет интеграла, однако, может оказаться слишком дорогой процедурой по времени, так что этим методом генерации случайных величин следует пользоваться при отсутствии других, более быстрых, возможностей.

11.1.2. Нормальное распределение

Нормальный закон распределения случайных величин, часто также называемый законом Гаусса, играет исключительно важную роль в физике и занимает среди других законов распределения особое положение.

Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов распределения, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при достаточно часто встречающихся типичных условиях.

Можно доказать, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений), приближенно подчиняется нормальному закону [2].

297

Случайные величины, распределенные по нормальному закону

могут быть получены при помощи следующего алгоритма:

1)генерируются два независимых случайных числа R1 и R2 , равномерно распределенные на (0,1);

2)рассчитываются числа V1 = 2R1 − 1 и V2 = 2R2 − 1, они будут равномерно распределены на интервале (−1,1) ;

3)рассчитывается число S = V12 + V22 ;

4)если S ≥ 1, то возвращаемся к пункту 1;

Докажем, что представленный алгоритм действительно дает правильный ответ.

298

Рис. 11.7. Блок-схема алгоритма получения нормально распределенных случайных чисел

Введем новые полярные координаты

так как S = r2 равномерно распределено на (0,1). Тогда дифференциальная вероятность (или плотность распределения)

299

Рис. 11.8. Гистограмма нормально распределенных случайных величин (внизу) получена из равномерного распределения (вверху) при помощи алгоритма, изображенного на рис. 11.7. По вертикальной оси отложено число точек распределения, попадающих в соответствующий интервал гистограммы, общее число точек равно 100000

что и доказывает справедливость алгоритма.

На рис. 11.8 показана гистограмма нормально распределенных случайных величин, полученная из равномерного распределения при помощи алгоритма, изображенного на рис. 11.7.

300