Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МИФИ_Вычметоды КФ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2026

Размер:

9.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4229 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

	5
										a
	4
	3
	2

	1
	0
	-1
	-2
	0.2	0.4	0.6	0.8	1	1.2	1.4	1.6	1.8	2
						T
	3.5
										b
	3
	2.5
E	2
	1.5
	1
	0.5
	0		0.5			1		1.5		2
						T
	1.5
	c
	1
C
	0.5
	0
	0		0.5			1		1.5		2
						T

Рис. 10.4. Зависимость химического потенциала (a), энергии (b) и теплоемкости (c) идеального ферми-газа от температуры

281

Задача 10.4. Получить разложение (10.47).

Задача 10.5. Получить (10.48) из (10.46) при низких температурах.

Заметим, что теплоемкость вырожденного ферми-газа пропорциональна температуре и плотности состояний на уровне Ферми (число γ называется постоянной Зоммерфельда).

При высоких температурах T >> T0 статистика газа становится

больцмановской, и зависимости энергии и теплоемкости электронного газа выходят на классический предел, так что

E →	3 NT;	C →	3 N .	(10.49)
	2		2

Задача 10.6. Получить (10.49) из (10.46) в пределе больших температур.

Таким образом, теплоемкость ферми-газа выходит на насыщение и просто отражает число степеней свободы газа (по 12 kB на каждую степень).

На рис. 10.4 показаны зависимости химического потенциала, энергии и теплоемкости идеального ферми-газа от температуры, полученные численным решением системы (10.46).

10.4. Термодинамика идеального бозе-газа

Рассмотрим теперь идеальный бозе-газ. При нулевой температуре его свойства резко отличаются от свойств ферми-газа. Согласно статистике Бозе – Эйнштейна, все частицы при нулевой температуре должны находиться в наинизшем состоянии с энергией

ε = 0 . Рассмотрим уравнение		нормировки при			конечной
температуре
∞		1
N = ∫N(ε)dε		1		.	(10.50)

	e	(ε−µ) / T	− 1
0	e		− 1
0
При заданной плотности N / V		при	понижении температуры

химический потенциал будет возрастать, оставаясь отрицательным.

282

Он достигнет значения µ = 0 при температуре, определяемой из уравнения

∞

N = ∫N(ε)dε

(10.51)

ε / T

− 1

Расчет этой температуры приводит к значению

T(µ = 0) ≡ T0

2πh2

2 /3

3.31h2

2 /3

, (10.52)

mς

2 /3

(3/2)

здесь ς – функция Римана, n = N / V . Эта температура называется

температурой бозе-конденсации и отмечает точку фазового перехода, ниже которой частицы начинают макроскопически

конденсироваться в основном состоянии. Для жидкого гелия 4He эта точка отождествляется с температурой наступления сверхтекучего состояния, и равна 2.17 К.

Количество частиц, находящихся в основном состоянии, равно [36]

		T	3 /2
		T
Nε=0 = N 1
Nε=0 = N 1	−	T0
		T0

. (10.53)

Заметим, что температурная зависимость (10.53) хорошо описывает поведение жидкого гелия 4He при температурах T < 2.17 K .

Задача 10.7. Получить (10.53), используя (10.50) и (10.51).
Таким	образом, задача делится	на две температурные	области,
T < T0	и T > T0 . Химический	потенциал при T > T0	остается

отрицательным, и при понижении температуры уменьшается по абсолютной величине, обращаясь точно в нуль при T = T0 . При

T < T0 химический потенциал равен нулю, так как макроскопически большое число частиц (10.53) находится в основном состоянии.

Таким образом, численный расчет идеального бозе-газа интересен при температурах выше температуры бозе-конденсации, так как при T < T0 все термодинамические величины поддаются

аналитическому расчету: при низких температурах средняя энергия и другие величины определяются только вкладами от частиц с энергиями ε > 0 . Полагая µ = 0 , находим, например:

283

15V

m3 / 2 T5 / 2ς(5 /2)

2m3 / 2 T5 / 2 ∞

3 / 2

E =

∫t

;

− 1

3 / 2

)

2π

3 / 2

(10.54)

С(T)

~ T

Таким образом, свойства бозе-газа ниже температуры конденсации резко отличаются от свойств больцмановского и ферми-газа.

Для случая

T > T0

удобно

обезразмерить

все

физические

параметры на температуру конденсации:

E′ =

; µ′

;

T′ =

(10.55)

Тогда система уравнений для численной схемы принимает вид:

∞

1 = ξ∫

E′ dE′

;

ξ =

= 0.432;

(E′−µ′) / T′

− 1

π ς(3/2)

E′(T′)

∞

= ξ∫(E′)3 /2 dE′

;

(E′−µ′) / T′

− 1

(10.56)

C(T′) =

∞

∫(E′)3 /2 (E′ − µ)dE′

4 (T′)

E′ − µ′

2T′

Решение (10.56) следует искать только для µ < 0 , T′ > 1.

Графики зависимости химического потенциала, энергии и теплоемкости идеального бозе-газа от температуры, полученные численным решением системы (10.56), показаны на рис. 10.5. В

точке T = T0		график теплоемкости			от температуры имеет излом
(так называемая λ -точка), при этом [36]
			C(T0 )	= 1.28.		(10.57)
			C(T → ∞)	= 1.28.		(10.57)
			C(T → ∞)
Так же,	как	и для ферми-газа, в			пределе высоких	температур
T >> T0	можно получить классический предел
		E → 3 NT; C → 3 N .				(10.58)
		2			2
		284

	0						a
							a
	-0.5
	-1
	-1.5
	-2
	-2.5
	-3
	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3
				T
	4.5
		b
	4
	3.5
	3
	2.5
E
	2
	1.5
	1
	0.5
	0
	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3
				T
	2
							c
	1.8
	1.6
	1.4
	1.2
C	1
	0.8
	0.6
	0.4
	0.2
	0
	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3
				T

Рис. 10.5. Зависимость химического потенциала (a), энергии (b) и теплоемкости (c) идеального бозе-газа (в расчете на одну частицу) от температуры

285

Задача. 10.8. Получить (10.58) из (10.56) в пределе больших температур.

Задачи

10.9.Рассчитать зависимости химического потенциала, энергии и теплоемкости идеального ферми-газа от температуры, численно решив систему (10.46). Построить графики зависимостей. Сравнить предельные случаи с аналитическими ответами.

10.10.Рассчитать зависимости химического потенциала, энергии и теплоемкости идеального бозе-газа от температуры, численно решив систему (10.56). Построить графики зависимостей. Сравнить предельные случаи с аналитическими ответами, а

также сравнить величину C(T0 ) / C(T → ∞) с точным ответом.

10.11.Рассчитать зависимости химического потенциала, энергии и теплоемкости идеального одномерного ферми-газа от температуры, предварительно получив выражение для плотности состояний. Построить графики зависимостей.

10.12.Рассчитать зависимости химического потенциала, энергии и теплоемкости идеального одномерного бозе-газа от температуры, предварительно получив выражение для плотности состояний. Построить графики зависимостей.

10.13.Рассчитать зависимости химического потенциала, энергии и теплоемкости идеального двумерного ферми-газа от температуры, предварительно получив выражение для плотности состояний. Построить графики зависимостей.

10.14.Рассчитать зависимости химического потенциала, энергии и теплоемкости идеального двумерного бозе-газа от температуры, предварительно получив выражение для плотности состояний. Построить графики зависимостей.

286

11. Методы Монте-Карло для физических систем

11.1. Случайные распределения. Вероятность

Понятие вероятности является одним из ключевых в квантовой физике. Современное описание квантовых систем имеет исключительно вероятностный характер: волновая функция – основной объект изучения квантовой физики – имеет смысл плотности вероятности, рассмотрение систем многих тождественных частиц и термодинамических свойств этих систем также приводит к понятиям статистической суммы и плотности распределения частиц по разрешенным уровням энергии системы. Одними из наиболее часто встречающихся распределений являются следующие три фундаментальных распределения, отражающие вероятность заполнения частицами квантовых состояний системы с энергией E и химическим потенциалом при температуре T:

распределение Больцмана

ρ(E) = e−		E−µ
			T ,			(11.1)
распределение Ферми – Дирака
ρ(E) =	1			,		(11.2)

	E−µ
	e T		+ 1
распределение Бозе – Эйнштейна
ρ(E) =	1				.	(11.3)

	E−µ

	e T		− 1

В практических задачах при численном моделировании квантовых систем также часто возникает необходимость получать случайные величины с заданным законом распределения, причем существенным моментом при этом является эффективность алгоритма с точки зрения временных затрат.

287

Как правило, в распоряжении пользователя имеется датчик случайных чисел, встроенный в пакеты программ, выдающий случайные числа, равномерно распределенные в интервале (0;1). Требования к нему достаточно высоки: равномерность распределения должна обеспечиваться не только для первичного массива чисел, но и для производных от него – функций от полученного распределения. Если случайные числа, генерируемые датчиком, имеют двойную точность, т.е. имеют 16 значащих цифр после запятой, то количество различных неодинаковых случайных чисел, которые могут быть получены с помощью этого датчика,

будет ~ 2 109 (или, точнее, 231 ), что, как правило, является достаточным даже для длительных расчетов.

В действительности все датчики случайных чисел выдают так называемые псевдослучайные числа, т.е. их распределение не является строго равномерным. Первый алгоритм для получения псевдослучайных чисел был предложен Дж. фон Нейманом. Он называется методом середины квадратов и заключается в следующем. Пусть дано какое-либо число с четырьмя цифрами после запятой, например, g0 = 0.9876 . Его квадрат будет числом с

восемью знаками после запятой g20 = 0.97535376 . Выберем четыре средние цифры этого числа и положим g1 = 0.5353 . Возведем его также в квадрат, g12 = 0.28654609 , и снова извлечем четыре средние цифры: g2 = 0.6546 , и т.д. Этот алгоритм, к сожалению,

приводил к большому количеству малых значений и не давал истинного равномерного распределения.

В общем случае процесс генерации случайных чисел ξ можно описать формулой

ξn+1 = F(ξn) ,

(11.4)

где F – некоторый алгоритм, заложенный в данном генераторе. Можно показать, что последовательность (11.4) обязательно периодическая, если компьютер обрабатывает числа с определенным конечным числом значащих цифр после запятой, но период так велик, что превосходит все практические потребности.

288

В данной главе будут рассмотрены некоторые важные распределения случайных величин, а также предложены эффективные алгоритмы и методы, позволяющие без лишних временных затрат получать требуемые распределения на основе равномерного распределения, генерируемого встроенным датчиком случайных чисел.

11.1.1. Метод обратной функции и метод фон Неймана

При решении различных задач возникает потребность получать случайные величины, распределенные по различным законам, при помощи генератора случайных чисел, равномерно распределенных на интервале (0,1). В этом разделе будут рассмотрены два достаточно общих метода получения нужных распределений: метод обратной функции и метод фон Неймана.

Пусть необходимо, чтобы случайная величина ξ , определенная на интервале (a,b) , принимала значение, меньшее или равное x, с

вероятностью P(x). Тогда функция
F(x) = P{ξ ≤ x }	(11.5)
называется функцией распределения случайной величины ξ		и
всегда монотонно увеличивается от 0 до 1:
F(x1 ) ≤ F(x2 ), если x1 ≤ x2;	(11.6)
F(a) = 0; F(b) = 1.	(11.6)
F(a) = 0; F(b) = 1.
Плотность распределения f(x) случайной	величины	ξ
определяется следующим образом:
x
F(x) = ∫f(t)dt ,	(11.7)

где верхний предел интегрирования меняется в области определения (a,b) .

289

Пусть существует обратная функция F−1 (y) , такая, что если 0<y<1, то y=F(x) тогда и только тогда, когда x=F−1 (y) . Тогда для

нахождения искомого распределения следует положить
ξ = F−1(R) ,	(11.8)

где R – случайная величина, равномерно распределенная на (0,1).

Действительно,
P{ξ ≤ x } = P{F−1(R) ≤ x }= P{R ≤ F(x) } = F(x) .	(11.9)

На практике метод обратной функции применяется следующим образом. Пусть нужно получить значения случайной величины ξ ,

распределенной с плотностью p(x) на интервале (a,b) . Докажем, что значения ξ можно находить из уравнения

ξ
∫p(x)dx = R ,	(11.10)
a

где R – случайная величина, равномерно распределенная на (0,1).

Рассмотрим функцию

x
y(x) = ∫p(t)dt ,	(11.11)

	a
	при этом из свойств плотности распределения имеем:
	y(a) = 0; y(b) = 1;	(11.12)
	y′(x) = p(x) > 0.	(11.12)
	y′(x) = p(x) > 0.

Таким образом, функция y(x) монотонно возрастает от 0 до 1, и

любая прямая y=R, где 0 < R < 1 , пересекает график функции y=y(x) в одной единственной точке, абсцисса которой, как станет ясно из дальнейшего, и есть искомое число ξ (рис. 11.1). Таким

образом, единственность решения доказана.

290

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4229 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.02.202625.61 Mб0МИФИ Топология в тополях.pdf
#
13.02.2026508.05 Кб0МИФИ ТФКП Римановы.pdf
#
13.02.20262.83 Mб0МИФИ ТФКП.pdf
#
13.02.20265.73 Mб0МИФИ Фракталы и фундфизика.pdf
#
13.02.202611.16 Mб0МИФИ Фунд_симметрии (группы).pdf
#
13.02.20269.98 Mб0МИФИ_Вычметоды КФ.pdf
#
13.02.20262.57 Mб0МИФИ_ОТО.pdf
#
13.02.202611.14 Mб0МИФИ_Тёмная_материя.pdf
#
13.07.20242.12 Mб11ответы на историю инженерии в ПДФ Аванпост.pdf
#
28.03.202430.3 Кб0Подборка полезных материалов-1.docx
#
19.02.202430.3 Кб2Подборка полезных материалов.docx

	5
										a
	4
	3
	2

	1
	0
	-1
	-2
	0.2	0.4	0.6	0.8	1	1.2	1.4	1.6	1.8	2
						T
	3.5
										b
	3
	2.5
E	2
	1.5
	1
	0.5
	0		0.5			1		1.5		2
						T
	1.5
	c
	1
C
	0.5
	0
	0		0.5			1		1.5		2
						T

	5
										a
	4
	3
	2

	1
	0
	-1
	-2
	0.2	0.4	0.6	0.8	1	1.2	1.4	1.6	1.8	2
						T
	3.5
										b
	3
	2.5
E	2
	1.5
	1
	0.5
	0		0.5			1		1.5		2
						T
	1.5
	c
	1
C
	0.5
	0
	0		0.5			1		1.5		2
						T

	5
										a
	4
	3
	2

	1
	0
	-1
	-2
	0.2	0.4	0.6	0.8	1	1.2	1.4	1.6	1.8	2
						T
	3.5
										b
	3
	2.5
E	2
	1.5
	1
	0.5
	0		0.5			1		1.5		2
						T
	1.5
	c
	1
C
	0.5
	0
	0		0.5			1		1.5		2
						T