МИФИ_Вычметоды КФ

количество состояний в каждой группе Gε , количество частиц в группе Nε , и статистический вес группы обозначим ΔΩε , при этом предполагается, что Nε >> 1 и Ωε >> 1 . С учетом того, что каждая

Рассчитаем статистический вес в группе в случае ферми-частиц. Для этого следует рассчитать количество способов, которыми можно разместить Nε частиц по Gε состояний при выполнении

принципа Паули:

Для бозе-газа соответствующее число способов при отсутствии ограничения на числа заполнения гораздо больше (см. (6.2)):

верхний индекс относится к бозе-статистике, нижний – к фермистатистике. Так как для макроскопической системы Gε >> 1, Nε >> 1, то единицами в (10.19) можно пренебречь.

Используя формулу Стирлинга

которые совпадают в термодинамическом пределе со средними числами заполнения nk . Тогда выражение для энтропии можно

записать в следующем виде:

Соотношение (10.24) – известное выражение для энтропии ферми- и бозе-газа [36], при этом суммирование по ε с весовыми множителями Gε эквивалентно суммированию по всем квантовым

числам:

поэтому выпишем еще раз в привычных обозначениях энтропию ферми- и бозе-газа:

Чтобы рассчитать средние числа заполнения, согласно второму началу термодинамики, следует найти условия максимума энтропии при заданном числе частиц N и энергии E системы:

N = ∑nk ;

Самый удобный способ нахождения максимума (10.26) при ограничениях (10.27) – приравнять нулю производную по искомым числам заполнения с вводом неопределенных множителей Лагранжа α,β [36]:

Постоянные Лагранжа напрямую связаны с температурой и химическим потенциалом, достаточно сравнить вариацию (10.28) и термодинамическую вариацию энергии dE = TdS + µdN:

272

α = µT ;

Таким образом, распределения (10.29) совместно с (10.30) совпадают с распределениями Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна.

Сформулируем теперь задачу нахождения термодинамических средних для идеального газа с фермиили бозе-статистикой при конечной температуре и заданном значении химического потенциала.

Будем полагать, что среднее число частиц в системе N фиксировано конкретным значением химического потенциала . Тогда справедливо условие нормировки

Фактически – это трансцендентное уравнение, определяющее число частиц как функцию химического потенциала и температуры. Или наоборот: при фиксированном числе частиц это уравнение определяет химический потенциал µ(N, T) . Далее, зная

химический потенциал, можно рассчитать энергию, теплоемкость системы и другие величины, система уравнений имеет вид:

N(µ, T) = ∑f(εk ,µ);

k

E(µ, T) = ∑εk f(εk ,µ);

k

...

f(εk ,µ) = nk .

Система (10.32) справедлива для любой из вышеперечисленных типов статистик, при этом величиной f(εk ,µ) обозначается среднее

число заполнения – одночастичная функция распределения по энергии.

273

Суммирование по k может происходить как по непрерывному спектру для макроскопической системы, так и по дискретному набору импульсов для конечного кластера. В частности, для

10.2. Плотность состояний

Рассмотрим теперь макроскопическую систему, в которой число одночастичных квантовых состояний настолько велико, что множество разрешенных импульсов можно считать непрерывным набором квантовых состояний.

Заметим, что числа заполнения зависят только от одночастичной энергии εk , и для расчета термодинамических величин нет

необходимости хранить полную информацию о спектральной зависимости энергии частиц, детали одночастичного спектра можно заранее учесть переходом от суммирования по k к интегрированию по ε .

Введем понятие плотности одночастичных состояний N(ε) . По определению,

состояний, размещенных в интервале от ε до ε + dε . Ранее эта

274

величина вводилась при описании взаимодействующей системы (см. (8.112)).

Математически плотность одночастичных состояний позволяет перейти во всех суммах (10.32) к интегрированию по энергии:

Таким образом, все особенности конкретного одночастичного спектра отражаются на плотности состояний, но, один раз вычисленная, она может быть использована для расчета других термодинамических величин.

Система уравнений (10.32) с учетом (10.35) может быть представлена в следующем виде:

N = ∫dε N(ε) f(ε,µ);

При этом следует напомнить, что необходимо предварительно рассчитать химический потенциал из первого уравнения (уравнения нормировки). Далее будем обозначать N через N.

Плотность состояний для конкретной системы может быть вычислена, если известен ее одночастичный спектр. Если мы имеем

случае N(ε) = const , а в одномерной ситуации N(ε) ~1/ ε .

Задача 10.1. Получить (10.37) и рассчитать N(ε) в двумерном и одномерном случаях.

275

Если в задаче рассматривается дискретная система небольшого размера, то переход (10.35) от суммирования к интегрированию будет некорректен, так как в этом случае множество разрешенных импульсов нельзя считать непрерывным. Для малых дискретных систем следует аккуратно суммировать по всем разрешенным импульсам, не переходя к интегралам.

Вернемся теперь к трехмерным ферми- и бозе-газам в термодинамическом пределе и кратко рассмотрим постановку

276

численной схемы, проблемы обезразмеривания и основные аналитические результаты в предельных случаях.

10.3. Термодинамика идеального ферми-газа

При нулевой температуре распределение Ферми превращается в ступеньку, ограниченную значением µ(0) (рис. 10.2), называемым в

µ(0) = EF.

Рис. 10.2. Функция распределения для свободного ферми-газа. Штриховая линия отвечает температуре T = 0 , сплошная линия – температуре 0 < T << EF

В этом случае все частицы, в соответствии с принципом Паули, занимают в импульсном пространстве сферу Ферми с радиусом kF ,

т.е. наинизшие по энергии состояния (рис. 10.3). Соответственно,

h2k2

EF = 2mF .

277

Рис. 10.3. Сфера Ферми в импульсном пространстве

Электронный газ при T = 0 называется вырожденным. При нулевой температуре можно получить соотношение между импульсом Ферми и концентрацией частиц. Действительно, переходя от суммирования к интегрированию в макроскопическом пределе, находим

здесь учтено суммирование по двум проекциям спина.

Свободный ферми-газ является неплохим приближением для простых металлов: полагая n ~1022 см−3 и массу m равной массе свободного электрона, находим EF ~ 10 эВ .

Можно получить следующие полезные соотношения:

N(EF ) = 3 N ; (10.41) 2 EF

Задача 10.3. Получить (10.41) и (10.42).

Воспользовавшись термодинамическими соотношениями, получим уравнение состояния ферми-газа при нулевой температуре:

Таким образом, даже при нулевой температуре существует конечное давление идеального ферми-газа, связанное с его квантовым вырождением и конечной плотностью. Уравнение (10.43) отличается от уравнения состояния идеального классического газа PV = NT .

При конечной температуре особенности ферми-газа проявляются до тех пор, пока температура не станет сопоставима по величине с энергией Ферми ( T0 ~ EF ) и при T > T0 свойства газа переходят в

свойства классического (больцмановского) газа. Температура T0 называется температурой вырождения, и для реальных металлов она высока, T0 ~105 К .

Сформулируем систему уравнений для численного анализа трехмерного ферми-газа, используя удобное обезразмеривание физических величин. Для этого, принимая во внимание (10.41) и зависимость (10.38), запишем плотность состояний в следующем виде:

Введем безразмерные энергию, температуру и химический потенциал:

Тогда система уравнений (10.36) имеет вид:

279