Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МИФИ_Вычметоды КФ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2026

Размер:

9.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4227 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Рис. 9.5. Одномерная модель Изинга (9.83)

Несложно убедиться, что число слагаемых во взаимодействующей части (9.83) равно N (рис. 9.5). Перепишем (9.83) в виде одинарной суммы:

H = −∑(Jµiµi+1 + Hµi);

i=1		(9.84)
µi = ±1;	µN+1 ≡ µ1.

Рассмотрим пару соседних узлов i и i + 1 . Возможные энергии этой пары узлов такие:

Ei,i+1	= −J − H;
↑↑
Ei,i+1	= J − H;
↓↑		(9.85)
Ei,i+1	= J + H;	(9.85)
Ei,i+1	= J + H;
↑↓
Ei,i+1	= −J + H.
↓↓

Введем матрицу размера 2× 2 , которая содержит в себе члены статистической суммы этой пары узлов:

		−βEi,i+1			−βEi,i+1
Ai,i+1	= e		↑↑	e	↓↑	.	(9.86)
Ai,i+1	= e	−βE	i,i+1	e	i,i+1	.	(9.86)
		−βE	↑↓	e	−βE↓↓
	e			e

Рассмотрим произведение таких соседних матриц:

					−β(Ei,i+1	+Ei+1,i+2)		−β(Ei,i+1	+Ei+1,i+2)
A	i,i+1	A	i+1,i+2	= e	↑↑	↑↑	+ e	↓↑	↑↓
	i,i+1		i+1,i+2				...
							...

				...				(9.87)
	i,i+1	i+1,i+2		...	i,i+1	i+1,i+2	.	(9.87)
e	−β(E↑↓	+E↓↑	)	+ e	−β(E↓↓	+E↓↓	)
e				+ e

Видно, что на главной диагонали в показателях экспонент перебраны все возможные состояния пары узлов i и i + 1 . Можно

261

проверить, что если умножить Ai,i+1Ai+1,i+2 на следующую соседнюю матрицу Ai+2,i+3 , то на главной диагонали полученной матрицы в

показателях экспонент будут присутствовать все возможные состояния уже трех узлов: i, i + 1 и i + 2 , и т.д. Таким образом, при перемножении всех матриц A получим полную статистическую сумму всей системы:

Z = Tr(A1,2A2,3A3,4...AN,1) .

(9.88)

Но так как все узлы в системе эквивалентны, то и все матрицы A абсолютно одинаковы, так что

A	A	i+1,i+2	= A2
i,i+1		i+1,i+2	i,i+2		(9.89)
Z = Tr((A				)N).	(9.89)
Z = Tr((A				)N).
			1,2

Последнее соотношение позволяет рассчитать статистическую сумму аналитически при любом количестве узлов. След матрицы A1,2 в (9.89) не меняется при переходе к другому базису, в

частности, к собственному базису, в котором матрица A1,2 диагональна. Пусть числа λ1 ,λ2 – собственные числа матрицы Ai,i+1 . Тогда статистическая сумма представима в виде

	λ1		0	N
	λ1		0	N N
Z = Tr					= λ1 + λ2 .	(9.90)
Z = Tr		0			= λ1 + λ2 .	(9.90)
		0	λ2

Найдем собственные числа λ1 ,λ2 , решив секулярное уравнение

−βEi,i+1

det

↑↑ − λ

↓↑

= 0 .

(9.91)

i,i+1

−βE

i,i+1

−βE↑↓

↓↓

− λ

В результате имеем:

λ1,2 = eβJch(βH) ±

e2βJsh2 (βH) + e−2βJ .

(9.92)

Далее, используя (9.92) и выражение для статистической суммы (9.90), можно рассчитать различные термодинамические средние.

Пользуясь общим выражением для термодинамического среднего (9.46), можно в предельных случаях, зная особенности спектра,

262

сделать некоторые выводы о характере температурных зависимостей, не решая термодинамическую задачу.

Например, можно показать, что если в спектре системы En основной уровень E0 отделен от остальных конечной энергетической щелью = E1 − E0 , что в действительности имеет

место в полупроводниках, сверхпроводниках и многих других физических системах, то при низких температурах T << все термодинамические величины будут иметь экспоненциальную температурную зависимость следующего вида:

A(T) ~ e− / T .

(9.93)

Этот асимптотический результат справедлив для любой квантовой или классической модели, он следует прямо из определения термодинамического среднего:

∑Ane

−E

e−βE0

+ A

e−βE1 + ...

A(T) =

e−βE0

+ e−βE1 + ...

T→0

(9.94)

+ A

e−β

+ ...

≈ A

+ const e−β

+ ...

−β

1 + e

+ ...

T→0

Можно показать, что этот результат справедлив и в том случае, если при E ≥ E1 энергетические уровни в системе образуют

непрерывный спектр.

Задачи

9.5. Для одномерной бозонной модели Хаббарда

	∑	i	j	+ h.c.)+		∑ i i
H = −t		(a+a		+ h.c.)+	U	n (n − 1)
	ij				2	i

с периодическими граничными условиями; t = 1 ; U = 2 ; максимальное заполнение на узле nmax = 3 ; число узлов m = 5 , рассчитать статистическую сумму, энергию и

теплоемкость в зависимости от температуры двумя способами: 1) предварительно диагонализировав гамильтонову матрицу; 2) через след гамильтоновой матрицы в узельном базисе. Сравнить результаты.

9.6. Для одномерной ферромагнитной модели Изинга

ˆ ∑ ∑

H = −J SiSj + H Si

ij i

263

с периодическими граничными условиями; J = 1 ; Si = ±1 ; внешнее поле H = 0.1 ; число узлов m = 10 , рассчитать статистическую сумму, энергию, теплоемкость,

магнитный момент и восприимчивость в зависимости от температуры двумя способами: 1) предварительно диагонализировав гамильтонову матрицу; 2) через след гамильтоновой матрицы в узельном базисе. Сравнить результаты.

9.7. Для одномерной бозонной модели Хаббарда

	∑	i	j	+ h.c.)+		∑ i i	∑ i
H = −t		(a+a		+ h.c.)+	U	n (n − 1) − µ	n
	ij				2	i	i
	ij					i	i

с периодическими граничными условиями; t = 1 ; U = 2 ; максимальное заполнение

на узле	nmax	= 2 ; число	узлов m = 5 ,	рассчитать	зависимость	числа частиц в
системе	от	химического	потенциала	. Расчет	провести	для температур

T = 0; 0.05; 0.1; 0.2 .

Решение

Узельный базис для этой задачи будет состоять из R = 243 базисных функций: Φ1 = 00000; Φ2 = 00001;

Φ3 = 00002;

Φ4 = 00010;

...

Φ243 = 22222.

Для каждого значения химического потенциала находим вид гамильтоновой матрицы в узельном представлении, вычисляя матричные элементы Φi H Φj = Hij . Портрет

гамильтоновой матрицы показан на следующем рисунке.

264

Получив

гамильтонову

матрицу,

находим

ее

собственные

функции

ϕα

соответствующие собственные значения

Eα , α = 1,...,R . При нулевой температуре

система находится в основном состоянии, т.е. в состоянии с минимальной энергией

Eα′ = min(Eα ) . Число частиц в основном состоянии будет равно

n 0 ≡ ϕα′ n ϕα′ = ∑Ciα′Φi n

∑Cjα′Φj

= ∑(Ciα′ )2ni ,

i=1

j=1

i=1

где Cij

– коэффициенты разложения собственных функций

по узельному базису

Φ ; ni

– суммарное число частиц в базисном состоянии Φi .

Если температура отлично от нуля, то среднее число частиц в системе вычисляется

по формуле

∑nα exp(−Eα / T)

n =

α=1

∑exp(−Eα / T)

α=1

здесь nα

– число частиц в собственном состоянии ϕα .

На следующем рисунке показана зависимость среднего числа частиц в системе от

химического потенциала в диапазоне от

−1.8

до

4 для

различных значений

температур.

n( )

T=0.1

T=0.05

T=0.2

T=0

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

3.5

265

При нулевой температуре число частиц в системе скачками меняется на единицу при
росте химического потенциала; при повышении температуры ступеньки все больше
размываются. На следующем рисунке показана одна из ступенек в увеличенном
масштабе; отклонение кривой, соответствующей нулевой температуре, от вертикали
обусловлено дискретностью шага по химическому потенциалу при расчете, в данном
случае он равен 0.02.
7
6.5
6
n( )
5.5
					T=0.1
					T=0.05
5					T=0.2
					T=0.2
					T=0
4.5
0.6	0.8	1	1.2	1.4	1.6

9.8. Для одномерной антиферромагнитной модели Гейзенберга
		ˆ
		H = −J∑SiSj + H∑Si
		ij	i

с периодическими граничными условиями; J = −1 ; Si = ± 12 ; число узлов m = 10 ,

рассчитать зависимость энергии и магнитного момента от внешнего поля H. Расчет провести для температур T = 0.1; 0.5; 1; 2 . Построить графики зависимостей.

266

10. Статистика Больцмана, Ферми и Бозе. Плотность состояний

10.1. Функции распределения

Рассмотрим важные частные случаи функций распределения, которые описывают системы, представляющие собой идеальный газ со статистикой Бозе или Ферми). В этом случае взаимодействие между частицами отсутствует, и задачу об определении многочастичных уровней энергии всей системы En можно свести к

задаче об определении уровней энергии одной частицы εk – так

называемому одночастичному спектру. Здесь индекс k нумерует квантовые состояния одной частицы. Для численного исследования существенно, что в таком случае можно сформулировать задачу не только для конечного кластера, но и для макроскопической системы.

Мы уже знакомы с представлением чисел заполнения nk ,

характеризующих число частиц в k-м квантовом состоянии (для узельного кластера число k – это номер узла пространственной решетки). Перейдем в импульсное представление, так что будем полагать числа k импульсами (дискретными или непрерывными), характеризующими одночастичный спектр. В частности, для приближения сильной связи спектр имеет известный вид (см., например, (5.25)):

ε(k) = −2t(coskxa + coskya + coskza) ,

(10.1)

а для свободного фермиили бозе-газа справедлива квадратичная по импульсу дисперсионная зависимость

ε(k) =	h2k2	,	(10.2)
	2m

здесь m – эффективная масса частицы. Импульсное представление удобно, так как гамильтониан невзаимодействующей системы в этом представлении диагонален, а значит, диагональна и матрица плотности.

267

Соответственно, для условий канонического или большого канонического ансамблей средние числа заполнения импульсных состояний nk становятся функциями температуры и энергии и

равны матричным элементам одночастичной матрицы плотности – функции распределения частиц по одночастичным уровням энергии.

Рассмотрим сначала идеальный разреженный газ. Будем полагать, что квантово-механические обменные эффекты слабы, т.е. можно пренебречь либо принципом Паули (для фермионов), либо возможностью занять нескольким тождественным частицам одно и то же состояние (для бозонов). Это предположение означает малость искомых средних чисел заполнения nk . К таким системам

относятся, например, обычные молекулярные или атомарные газы при комнатных температурах и низком давлении. Условие

nk << 1

(10.3)

позволяет полагать, что в одном квантовом состоянии не может быть более одной частицы. Это условие – не аналог принципа Паули, так как не предполагаются тождественность частиц и антисимметрия волновой функции, просто таким образом можно задачу о всей системе свести к задаче об одной частице.

Полную энергию системы невзаимодействующих частиц можно выразить через числа заполнения и одночастичные энергии в виде аддитивной суммы:

E = ∑εknk .	(10.4)
k

Запишем распределение Гиббса системы в условиях большого канонического ансамбля с переменным числом частиц N = ∑nk ,

		k
учитывая химический потенциал :
−β∑(εk −µ)nk	= ∏ (e−β(εk −µ) )nk .
ρE,N = e−(E−µN)β = e k	= ∏ (e−β(εk −µ) )nk .	(10.5)
	k

Матрица плотности системы, согласно (10.5), представляет собой произведение матриц плотности для каждого квантового состояния

268

k. Соответственно, все физические величины будут аддитивными функциями от каждого из состояний k. Рассчитаем статистическую сумму и свободную энергию этих состояний. Суммирование состояний в статистической сумме будет происходить только по числам заполнения nk :

Zk	= ∑(e−β(εk −µ) )nk ;							(10.6)
	nk
		∑(e	−β(εk −µ)			nk
			−β(εk −µ)		)	nk		(10.7)
Fk = −Tln					)		.	(10.7)
	nk
Так как для разреженного	идеального			газа			nk	<< 1, свободную

энергию в (10.7) можно разложить по степеням чисел заполнения (предполагая, что и экспоненты малы):

F ≈ −Tln(1 + e−β(εk −µ) + ...)≈ −Te−β(εk −µ) + ... .	(10.8)
k

Числа заполнения nk равны либо нулю, либо единице, вероятность реализации других значений nk ≥ 2 ввиду разреженности газа мала, поэтому

F ≈ −Te−β(εk −µ) .	(10.9)
k

Используя последнее из термодинамических соотношений (9.51), получаем окончательно так называемое распределение

Больцмана:

nk	= −	∂Fk	= e(µ−εk )β .	(10.10)
		∂µ

Распределение (10.10) фактически является распределением Гиббса для одной частицы, при этом роль энергии системы здесь играет одночастичная энергия εk (10.1), (10.2). В (10.10) следует

еще учесть нормировку (одночастичную статистическую сумму), так что окончательно

nk	=	1 e(µ−εk )β	;
		Z	(10.11)
Z = ∑e(µ−εk )β .			(10.11)

269

Рассмотрим теперь газ, состоящий из частиц с ферми-статистикой, когда справедлив принцип Паули, и числа заполнения могут принимать только два значения: nk = 0; 1 . Исходим из выражения

для свободной энергии (10.7):


Fk		∑(e	−β(εk −µ)	)	nk	= −Tln(1 + e	−β(εk −µ)	). (10.12)
Fk	= −Tln	∑(e		)		= −Tln(1 + e		). (10.12)
	nk =0;1

Соответствующий расчет среднего числа заполнения для квантового состояния k приводит к известному распределению

Ферми – Дирака

nk	= −	∂Fk	=	1	.	(10.13)
		∂µ		e(εk −µ)β + 1

Для случая идеального газа с бозе-статистикой, когда нет запрета на количество частиц в одном состоянии, и числа заполнения могут принимать любые неотрицательные значения, имеем:

		∞	−β(εk −µ)
Fk		∑(e	−β(εk −µ)	)	nk
Fk	= −Tln	∑(e		)
	nk =0

	∞		(10.14)
	∑e	−βnk (εk −µ)	(10.14)
= −Tln	∑e	.
nk =0

Заметим, что в (10.14) под знаком логарифма – бесконечная геометрическая прогрессия. Ее можно просуммировать, если εk > µ . Однако минимальная одночастичная энергия, согласно

(10.1) – (10.2), равна (εk )min = 0 . Поэтому для бозе-газа область физических решений (10.13) соответствует µ < 0 . В этом случае можем точно просуммировать (10.14) и получить следующее:

			1
Fk	= −Tln			.	(10.15)
		1
			− e−β(εk −µ)

Окончательно, дифференцируя (10.15) по химическому потенциалу, находим распределение Бозе – Эйнштейна:

nk	= −	∂Fk	=	1	.	(10.16)
		∂µ		e(εk −µ)β − 1

Распределения Ферми и Бозе также могут быть получены и из выражения для энтропии. Пусть все квантовые числа k будут сгруппированы по близким значениям энергии ε(k) . Положим, что

270

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4227 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.02.202625.61 Mб0МИФИ Топология в тополях.pdf
#
13.02.2026508.05 Кб0МИФИ ТФКП Римановы.pdf
#
13.02.20262.83 Mб0МИФИ ТФКП.pdf
#
13.02.20265.73 Mб0МИФИ Фракталы и фундфизика.pdf
#
13.02.202611.16 Mб0МИФИ Фунд_симметрии (группы).pdf
#
13.02.20269.98 Mб0МИФИ_Вычметоды КФ.pdf
#
13.02.20262.57 Mб0МИФИ_ОТО.pdf
#
13.02.202611.14 Mб0МИФИ_Тёмная_материя.pdf
#
13.07.20242.12 Mб11ответы на историю инженерии в ПДФ Аванпост.pdf
#
28.03.202430.3 Кб0Подборка полезных материалов-1.docx
#
19.02.202430.3 Кб2Подборка полезных материалов.docx