МИФИ_Вычметоды КФ

Z = ∑eµNβ ∑e−EnNβ.

Nn

Взаключение раздела напомним некоторые важные факты из статистической физики.

Теорема Нернста говорит об обращении в нуль энтропии системы при T = 0 (третье начало термодинамики). Это утверждение легко понять, если вспомнить об определении энтропии через логарифм статистического веса системы (9.25). Действительно, при нулевой температуре система находится в основном квантовом состоянии, и, в предположении его невырожденности, статистический вес ΔΩ = 1 .

Положительность теплоемкости непременно приводит к возрастанию энергии системы с температурой. При этом при нулевой температуре энергия системы стремится к минимуму и равна свободной энергии, а теплоемкость равна нулю.

Если система состоит из невзаимодействующих частей, то статистическая сумма может быть вычислена как произведение статсумм частей системы:

теплоемкость, энтропия, свободная энергия и другие, будут аддитивными величинами, т.е. будут являться суммами этих величин от составных частей системы:

251

9.4.Примеры

Для иллюстрации рассмотренных выше термодинамических и статистических соотношений рассмотрим примеры некоторых физических систем, для которых возможно аналитически рассчитать термодинамические средние.

9.4.1.Совокупность магнитных моментов

Рассмотрим систему из N магнитных моментов (рис. 9.2), расположенных в узлах произвольной кристаллической структуры и имеющих только две степени свободы – вдоль приложенного внешнего магнитного поля H и против него:

i

Рис. 9.2. Система невзаимодействующих магнитных моментов во внешнем поле H

Имеем, соответственно, совокупность невзаимодействующих между собой подсистем, каждая из которых (отдельный магнитный момент) взаимодействует с внешним полем согласно (9.57) и находится при конечной температуре. Согласно (9.55) – (9.56), задача сводится к расчету статистической суммы одного магнитного момента. Ее несложно получить:

Энергия системы

Несложно видеть из (9.60), что при низких температурах (β → ∞)

энергия минимальна, и все магнитные моменты "заморожены" и направлены по полю. В противоположном случае высоких температур энергия стремится к нулю, что соответствует полной разупорядоченности системы. Эти же закономерности видны после расчета суммарного магнитного момента (намагниченности системы):

Выражение (9.61) можно также получить из термодинамического соотношения

Отсюда сразу следует первое из термодинамических соотношений (9.52).

Этот результат показывает, что энтропия является логарифмом статистического веса системы (см. (9.25)), который в случае высоких температур и, соответственно, равенства вероятностей реализации различных состояний равен полному числу степеней

свободы 2N .

253

Рассчитаем также теплоемкость системы:

Графики энергии, магнитного момента и теплоемкости системы (в расчете на один магнитный момент) представлены на рис. 9.3.

Рис. 9.3. Зависимость от температуры энергии (вверху), магнитного момента (посередине) и теплоемкости (внизу) системы невзаимодействующих магнитных моментов. Внешнее поле H = 1

Теплоемкость достигает своего максимума при температурах T ~ H , когда сравниваются энергии переворота спина за счет магнитного поля и масштаб температурных флуктуаций. Выражение (9.65) можно получить также из второго соотношения (9.52) и из флуктуационного соотношения (9.50).

Задача 9.2. Получить (9.65) из (9.50) и (9.52).

Рассчитаем также еще одну важную физическую величину –

магнитную восприимчивость

254

Зависимость (9.66) называется законом Кюри. Она показывает отсутствие фазового перехода в упорядоченное (ферромагнитное или антиферромагнитное) состояние системы

невзаимодействующих магнитных моментов.

Магнитная восприимчивость может быть рассчитана и из флуктуации магнитного момента

Задача 9.3. Получить (9.67).

Рассмотренная модель описывает также и большой канонический ансамбль. Действительно, перепишем (9.57) в так называемый решеточный газ, сопоставив каждому направленному вверх магнитному моменту узел, занятый некоторой частицей, а направленному вниз магнитному моменту – пустой узел, т.е. введем знакомые по предыдущим главам числа заполнения

(µ = 2H ) для частиц, и, с точностью до несущественной аддитивной

постоянной, имеем большой канонический ансамбль свободных частиц:

Весь предыдущий анализ будет справедлив и в этом случае с точностью до переобозначений H → µ, M → N . В частности,

нетрудно убедиться, что соотношения (9.51) для обобщенной восприимчивости и среднего числа частиц совпадают, соответственно, с флуктуационным выражением для магнитной восприимчивости (9.67) и термодинамическим соотношением для магнитного момента (9.62).

255

Возвратимся теперь к физическим системам, рассмотренным во второй части, а именно, к бозонным и фермионным и спиновым системам в узельном базисе.

9.4.2.Модели сильной связи

Висходном виде модели сильной связи не могут быть напрямую исследованы с помощью статистического анализа, представленного выше, так как узельное представление не является собственноэнергетическим, и узельной функции не может быть сопоставлена определенная энергия. Поэтому сначала следует решить задачу Шредингера, т.е. диагонализовать гамильтонову матрицу и найти

An = Φn Aˆ Φn .

Для невзаимодействующей фермиили бозе-системы решение в случае модели сильной связи известно: гамильтониан становится диагональным в импульсном представлении, и, соответственно, спектр системы имеет вид аддитивной суммы:

здесь nmk – числа заполнения k-го импульса m-го энергетического

состояния; a – расстояние между узлами трехмерной простой кубической решетки. Поэтому при расчете термодинамических средних вида (9.70) следует подставлять спектр (9.71), суммируя по соответствующим числам заполнения и импульсам.

Термодинамические свойства невзаимодействующих ферми- и бозесистем будут подробно рассмотрены в следующей главе.

В случае наличия взаимодействия между частицами следует либо поступить так же, как указано выше, т.е. использовать спектр,

256

рассчитанный методом точной диагонализации, либо напрямую использовать свойства статистической суммы.

В общем случае для статистической суммы можно написать:

Последнее соотношение означает, что статистическая сумма равна сумме диагональных элементов оператора e−Hβ . Но сумма диагональных элементов, или след оператора, не зависит от базиса, в котором вычислены матричные элементы оператора, поэтому статистическая сумма может быть вычислена в любом другом, необязательно собственно-энергетическом, представлении. Любые термодинамические средние, согласно (9.7), также могут быть вычислены напрямую, без предварительной диагонализации, если только возможно рассчитать матричные элементы вида

Ψi Ae−Hβ Ψi :

Например, для энергии и среднего числа частиц имеем:

Заметим, что для энергии остается справедливым выражение через производную от логарифма статистической суммы (9.49).

Практически использовать выражение (9.73) следует так: сначала рассчитываются матрицы H и A в исходном (узельном) базисе,

затем производится вычисление оператора e−Hβ :

Рассмотрим теперь эту задачу в условиях большого канонического ансамбля, для этого в модель следует ввести химический потенциал, и тогда

т.е. выражения (9.80) справедливы только при µ = 0 . Для числа частиц тогда имеем:

Зависимость N(µ) при разных значениях температуры показана на

рис. 9.4. При увеличении химического потенциала число частиц в системе возрастает от 0 до 2. Ступеньки на графике связаны с дискретностью системы; они размываются при возрастании температуры.

259

9.4.3.Одномерная модель Изинга

Учтем в рамках модели магнитных моментов (9.57) во внешнем поле еще обменное взаимодействие между ними:

Первое слагаемое в (9.83) описывает взаимодействие соседних магнитных моментов. Модель (9.83) называется моделью Изинга. В одномерном случае удается получить точное аналитическое решение модели Изинга.

Пусть есть одномерная цепочка с периодическими граничными условиями из N магнитных моментов, описываемая гамильтонианом (9.83). Рассчитаем для этого случая статистическую сумму.

260