МИФИ_Вычметоды КФ

Таким образом, для расчета проводимости следует получить коррелятор "ток-ток" Λ xx , зависящий от времени. Для вычисления

выражения (8.104) следует учесть, что временная зависимость операторов понимается в гейзенберговском смысле:

Окончательно, для нахождения проводимости следует решить сначала спектральную задачу в отсутствие фазы, найти собственные энергии и волновые функции системы, а затем рассчитать временные корреляторы (8.109) и подставить их в соотношение (8.104).

При низких температурах (β → ∞ ) главный вклад в (8.104) будет

давать основное состояние, а также матричные элементы между основным состоянием и ближайшими возбужденными. Величина Λ xx преобразуется в сумму дельта-функций, и наиболее сложная

задача состоит в корректном расчете следующего спектрального коррелятора:

Выражение (8.110) можно вычислять непосредственно в процессе применения алгоритма Ланцоша, который с высокой точностью определяет несколько возбужденных состояний над основным.

231

Выражение (8.110) представляет собой разложение вектора основного состояния по всем возбужденным состояниям с некоторым весовым множителем. Метод вычисления такого выражения будет рассмотрен в конце раздела.

Рассмотрим теперь другой сложный коррелятор. Пусть необходимо рассчитать плотность состояний для системы фермионов со спинами. Плотность состояний – важная физическая величина, необходимая при расчете различных квантово-механических средних, ей удобно пользоваться, когда подынтегральное выражение зависит только от энергии частиц, например:

необходимости суммировать в (8.111) по каждой проекции импульса, удобнее ввести плотность состояний N(ε) :

k

По физическому смыслу плотность состояний – это количество возможных квантовых состояний, приходящихся на единичный интервал энергии ε ÷ ε + dε . Подробнее эта величина будет обсуждаться позже при рассмотрении ферми- и бозе-газа, а также при исследовании термодинамических свойств квантовых систем, сейчас рассмотрим в основном математическую и расчетную стороны проблемы.

Сумма дельта-функций в (8.112) может быть записана в общем случае для взаимодействующей системы, однако суммирование проводится по возможным собственным квантовым состояниям En

многочастичной системы. Мы интересуемся именно одночастичной плотностью состояний, которая представима следующим образом:

232

где akσ – оператор уничтожения частицы со спином σ и импульсом k; En(N) – энергия n-го возбужденного состояния системы из N частиц; Ψn(N) – соответствующая волновая функция; E0 (N) – энергия основного состояния системы из N частиц; Ψ0 (N) – волновая функция основного состояния.

Выражение (8.114) можно переписать в более удобном виде, перейдя от импульсного представления к узельным операторам:

дырками (вакантными местами). Интегралы от gi+σ (ω) и gi−σ (−ω) по

энергии ω дают средние числа заполнения фермионов и дырок со спином σ соответственно.

По физическому смыслу величина µ+ – химический потенциал, равный приращению энергии к энергии основного состояния системы за счет добавления одной частицы, а µ− – химический

потенциал, равный приращению энергии к энергии основного состояния системы при удалении одной частицы. Как следует из (8.116) – (8.117), заполняемые фермионами состояния находятся в

интервале энергий ω > µ+ , а состояния, заполняемые дырками, – в

(8.118) как щель в спектре возбуждений. Если эта величина меньше нуля, то щели в спектре нет, и плотность состояний непрерывна как функция энергии.

Из (8.116) – (8.117) видно, что, как и при расчете проводимости, необходимо вычислить сложный спектральный коррелятор вида

и, в отличие от выражения (8.110), здесь матричные элементы рассчитываются между состояниями с различным числом частиц. Тем не менее, выражение (8.120) также является разложением вектора основного состояния с N частицами по всем возбужденным состояниям системы, но теперь с добавленной (удаленной) одной частицей, поэтому и к нему можно применить рассмотренную далее процедуру расчета в рамках алгоритма Ланцоша.

Действительно, в обоих случаях (выражения (8.110) и (8.120)) следует рассчитывать сумму дельта-функций, умноженных на скалярное произведение некого вектора на собственные функции гамильтоновой матрицы (или на квадрат этого скалярного произведения). Сформулируем методику такого расчета в общем случае.

Следует отметить, что при расчете выражений (8.110) и (8.120) ошибки округления, возникающие при реализации алгоритма Ланцоша, не мешают расчету. Накопление ошибок округления в

234

алгоритме Ланцоша проявляется следующим образом: при увеличении числа итераций возникают паразитические псевдособственные векторы, которые либо дублируют уже существующие собственные векторы, либо имеют очень плохую невязку, т.е. вообще не являются собственными векторами. Применение алгоритма Ланцоша для решения задачи на собственные значения возможно только при устранении этих векторов. Однако именно для расчета указанных выше корреляторов существует возможность применения простого алгоритма Ланцоша без всяких модификаций, в котором можно игнорировать проблему возникновения паразитических векторов.

собственных векторов матрицы A, то решить эту задачу можно с помощью простого алгоритма Ланцоша. В работе [39] доказана допустимость такого подхода для широкого класса операторов F и дана оценка ошибок простого алгоритма Ланцоша. В нашем случае вектор u – многочастичная волновая функция основного состояния системы, матрица A – гамильтониан системы. Необходимый для расчета коррелятор (плотность состояний (8.120) или проводимость (8.110)) в таком подходе можно представить следующей функцией энергии ω :

ρ(ω) = C∑f[(u,xk )]δ(λk − ω);

произведение вектора u с собственными векторами гамильтониана; f(x) – некоторая простая функция (например, x2 ), σ – параметр

задачи, величина которого сопоставима с расстоянием между собственными числами λk гамильтониана. При определении

выражения (8.121) в качестве первого вектора, по которому образуется подпространство Крылова, берется вектор u, и по завершении итерационной процедуры алгоритм Ланцоша дает все необходимые скалярные произведения (u,xk ) . Возможность

игнорировать ошибки округления, связанные с паразитическими собственными векторами, состоит в том, что вес этих векторов в

235

исходном векторе u, как правило, мал (их амплитуда определяется вычислительными ошибками), и следовательно, паразитические векторы не влияют на результат расчета коррелятора.

На рис. 8.6 представлены результаты расчета проводимости σ(ω) и плотности состояний N(ω) для двумерной модели Хаббарда из [54], рассчитанные описанным выше методом, в зависимости от концентрации дырочных носителей x, отсчитанной от заполнения n = 1 .

a

б

Рис. 8.6. Расчет проводимости σ(ω) (a) и плотности состояний N(ω) (б) для двумерной модели Хаббарда 4 × 4 из [54]

236

ЧАСТЬ 3

ТЕРМОДИНАМИКА. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

9.Статистическое описание систем многих частиц

В первых двух частях книги не обсуждалась зависимость свойств различных систем от температуры. Однако реальные физические системы всегда находятся при конечной температуре, и экспериментальные исследования позволяют получать информацию о характеристиках наблюдаемых систем как функциях температуры.

Каким же образом в квантовую физическую систему (и в процедуру численного анализа такой системы) ввести температуру? Как получить термодинамические свойства системы в численном эксперименте? Для замкнутости изложения остановимся на некоторых понятиях статистической физики и основных термодинамических соотношениях, которые будут необходимы в дальнейшем как для описания конечных кластеров, так и для изучения макроскопических систем (более подробно см., например, [36, 40]).

Согласно основным положениям статистической физики, физическую (квантовую или классическую) систему в термодинамическом равновесии можно рассматривать как некоторую подсистему, находящуюся в контакте с окружающей средой или с еще большей системой – термостатом. В зависимости от вида этого контакта описание системы может быть различным. Самой важной статистической характеристикой системы, которая, разумеется, зависит от внешних условий, в которых находится система, является функция распределения (или функция статистического распределения) ρ , которая является

237

плотностью распределения вероятности состояний системы в фазовом пространстве. Под фазовым пространством в статистической физике понимается многомерное пространство состояний системы, каждая точка которого имеет уникальный набор всех квантовых чисел системы (это может быть, например, набор координат и импульсов). Полная размерность фазового пространства совпадает с размерностью базиса системы. Система эволюционирует во времени и переходит из одного состояния в другое – от одной точки фазового пространства к другой. При этом в фазовом пространстве прописывается путь системы, называемый фазовой траекторией системы. Главная задача статистической физики – нахождение функции распределения, так как через нее можно рассчитать значения и распределения любых физических величин, а также термодинамические средние таких величин. Если обозначить через Ω совокупность параметров фазового пространства – степеней свободы (например, совокупность координат и импульсов частиц, составляющих систему), то можно рассчитать термодинамическое среднее значение физической величины f(Ω) следующим образом:

Интегрирование в (9.1) производится по всему фазовому пространству. Такое соотношение справедливо как для классического, так и для квантового описания. Нормировочный множитель

называется статистической суммой или, кратко, статсуммой.

Заметим, что в случае квантовой системы усреднение с помощью функции распределения позволяет получать среднее значение физической величины, не зная точной временной эволюции этой величины – это так называемое неполное описание, функция распределения в этом случае представима через диагональные элементы некоторой матрицы [36, 40].

Поясним последнее утверждение. Для этого введем понятие матрицы плотности в энергетическом представлении, удобном для задач статистической физики.

238

Пусть система (или подсистема) имеет некоторый полный набор стационарных состояний n, описываемых нормированными волновыми функциями ϕn(Ω) , составляющими полный

ортонормированный базис для этой системы. Любое состояние

Среднее значение любой физической величины f может быть вычислено следующим образом:

где ˆf – оператор, соответствующий физической величине f.

Таким образом, для расчета f необходимы матричные элементы

fnm и парные произведения коэффициентов разложения a*nam .

Характеристики исходного базиса теперь не нужны, они представлены в виде интегралов в матричных элементах в (9.4), основную информацию несет теперь матрица коэффициентов разложения

которая и представляет собой матрицу плотности в энергетическом представлении, или статистическую матрицу. Можно также представить cnm как матричные элементы некоторого

статистического оператора ˆc . Такое представление является неполным, так как проведено усреднение по исходному базису, детали которого теперь учтены в матричных элементах (9.4), но оно может оказаться достаточным для задач статистической физики. Заметим, что теперь любое среднее

можно записать в виде суммы диагональных элементов (следа матрицы) произведения операторов ˆc и ˆf :

239

Из (9.7) следует, что результат не зависит от исходного базиса, и может быть получен в различных представлениях, необязательно в собственно-энергетическом.

Диагональные элементы матрицы плотности имеют смысл вероятности нахождения системы в соответствующем состоянии:

nn

Последнее выражение представляет собой статистическую сумму (9.2). Соответственно, диагональные элементы (9.8) являются квантовыми аналогами классической плотности распределения.

Выведем уравнение временной эволюции матрицы плотности. При учете временной эволюции системы разложение полной волновой функции системы по базису (9.3) сохраняется в любой момент времени, но каждый коэффициент разложения an будет зависеть

Подставляя это выражение во временное уравнение Шредингера

и используя ортонормированность волновых функций ϕ , получаем: