МИФИ_Вычметоды КФ

обычные матричные элементы в узельном базисе, метод расчета которых уже известен. Важно, что в этом случае исчезают комплексные множители и нормировочные коэффициенты.

Следует отметить, что расчет матричных элементов от недиагональной части гамильтониана в базисе ϕ дает в общем

случае ненулевые матричные элементы внутри всего блока, в том числе и на главной диагонали:

Докажем, что гамильтонова матрица в новом базисе также будет эрмитовой. Проще всего это получить из исходного выражения (8.54), применив операцию комплексного сопряжения:

Итак, теперь гамильтонова матрица имеет блочно-диагональную структуру в соответствии с секторами импульса, каждый из блоков, отвечающий конкретному значению импульса m, имеет линейный размер приблизительно в Na раз меньше размера исходной

матрицы, и, в общем случае, состоит из комплексных элементов.

211

Пример 8.4. Рассмотрим модель Бозе – Хаббарда с параметрами t = 1, U = 2 для системы из примера 1 (Na = 4, N = 2 ):

Гамильтонова матрица этой системы в узельном базисе (см. пример 1) имеет вид

Разобьем теперь матрицу на блоки, соответствующие различным импульсам, для этого поставим в соответствие нумерацию исходного узельного базиса и нового:

Сектор нулевого импульса m = 0 (см. пример 8.2) отвечает блоку размером 3× 3 . Вклад от диагональных матричных элементов гамильтониана будет следующим:

212

Аналогично получаем матрицы для остальных импульсов:

Таким образом, задача настолько упростилась, что в данном случае возможна даже аналитическая диагонализация матрицы.

Разбиение гамильтоновой матрицы по трансляциям позволяет получить дополнительную информацию о системе. Действительно, каждый блок в такой матрице отвечает определенному значению суммарного импульса системы, и после диагонализации матрицы полученные значения энергии в каждом блоке также будут отвечать определенному значению суммарного импульса, и, анализируя спектр, можно получить дисперсию системы E(k). Этот метод называется численным спектральным анализом. При расчете же обычным способом все энергетические уровни оказываются перепутанными по импульсам, и выяснить зависимость E(k) нет возможности.

Рассмотрим конкретный пример: модель Бозе – Хаббарда для системы из Na = 4 узлов и N = 3 частиц с параметрами t = 1, U = 2 :

После диагонализации матрицы в узельном базисе находим спектр системы:

Энергетические уровни отсортированы по возрастанию, но не по импульсам.

Применим процедуру разделения гамильтоновой матрицы на блоки, соответствующие определенным значениям импульса системы. С

После диагонализации каждого из блоков находим зависимость E(k) (табл. 8.1).

Таблица 8.1. Зависимость энергии системы от импульса

Если сопоставить спектр в табл. 8.1 с (8.63), то видно, что все уровни энергии отсортированы по импульсам. Полный нулевой импульс системы соответствует основному состоянию E1 и

состоянию E6 (см. (8.63)). Первое возбужденное состояние

отвечает минимальному полному импульсу (m = 1 ). Физически это состояние соответствует квазичастице – элементарному возбуждению бозе-системы, эту квазичастицу называют фононом, так как все свойства этой квазичастицы соответствуют звуковому возбуждению системы, отвечающему колебаниям плотности. Дальнейший анализ спектра приведет к адекватной картине одночастичных и многочастичных возбуждений над основным состоянием [33].

Эволюция спектра с увеличением параметра взаимодействия U в модели Бозе – Хаббарда с параметрами Na = 11, N = 7 из [33] показана на рис. 8.3. Здесь уровни 1a

и 1b – суперпозиция однофононных состояний с импульсом ±k0, k0 = 2π /Na ; уровни 2a и 2b – суперпозиция двухфононных состояний {k0 ,k0} и {−k0 ,− k0} . Уровень 3 – двухфононное состояние {k0 ,− k0} ; уровни 4a и 4b – суперпозиция так называемых

215

сверхтоковых состояний, когда система из семи частиц движется как единое целое. Все энергии отсчитаны от основного состояния.

Рис. 8.3. Эволюция спектра с увеличением параметра взаимодействия U в модели Бозе – Хаббарда из [33]. Число узлов и частиц Na = 11, N = 7 соответственно

Метод трансляционной инвариантности допускает ввод в расчет калибровочно-инвариантной фазы, т.е. позволяет учитывать внешние поля или токовые состояния в системе.

Для учета фазы следует в показателе экспоненты матричных элементов (8.56) сделать замену (см. разд. 6.6):

при этом знак в (8.65) определяется направлением перемещения частицы: положительный при перемещении частицы вдоль оси (для

отрицательный при перемещении против оси (соответственно, операторы вида ai+ ai+1 ).

216

Эрмитовость гамильтоновой матрицы при преобразовании (8.65) не нарушается.

Задача 8.2. Получить матрицу гамильтониана (8.62) в представлении чисел заполнения, найти ее спектр и сравнить нижние уровни с (8.63). Представить матрицу H в блочно-диагональном виде в базисе, собственном для оператора трансляции, диагонализовать по отдельности полученные блоки. Сравнить спектр E(k) с (8.63).

Вся рассмотренная процедура разбиения гамильтоновой матрицы по трансляциям непосредственно обобщается на двумерную и трехмерную ситуации. Для этого следует провести разделение на классы по трансляциям отдельно для каждой проекции x,y,z , а

затем объединить классы в единую систему. Тогда при размере системы LX × LY × LZ можно добиться разделения матрицы на блоки,

отвечающие импульсам kmX ,mY ,mZ , каждый из блоков будет иметь линейный размер порядка R′ ~ R /LXLYLZ , где R – размерность

базиса системы. Матричные элементы внутри любого блока, соответствующего сектору импульсов (mx ,my ,mz ) , будут иметь вид

× e2πi(mXkX /LX +mYkY /LY +mZkZ /LZ ) ϕξXξYξZ (0) H ϕηXηYηZ (kX ,kY ,kZ ).

В завершение раздела отметим, что в результате разложения гамильтоновой матрицы по трансляциям получаются, в общем случае, комплексные эрмитовы матрицы.

При помощи простого способа можно свести спектральную задачу для эрмитовой комплексной матрицы к задаче для действительной симметричной матрицы.

Действительно, пусть есть гамильтонова матрица размера R × R , и спектральная задача в матричном виде выглядит следующим образом:

217

Можно показать, что задача (8.67) эквивалентна следующей задаче:

Здесь матрица A составлена из блоков, состоящих из действительной и мнимой частей гамильтоновой матрицы, а векторы Φ составлены из действительной и мнимой частей исходных волновых функций Ψ .

В справедливости (8.68) можно убедиться непосредственным перемножением матриц.

Задача свелась, таким образом, к спектральной задаче для действительной симметричной матрицы, линейный размер которой вдвое больше размера исходной матрицы. Следует иметь в виду, что после диагонализации этой матрицы будет получено два одинаковых набора значений E1 ,E2 ,...,ER , каждый из которых

будет являться спектром для задачи (8.68):