МИФИ_Вычметоды КФ

Для простой кубической решетки с периодом a имеем:

Векторы bi называются базисными векторами обратной

решетки. Они выбраны так, что ортогональны базисным векторам прямой решетки:

Любой вектор k обратной решетки может быть разложен по базису векторов bi :

Заметим, что векторы обратной решетки естественным образом появляются при рассмотрении квантовой задачи с периодическим потенциалом. Понятие обратного пространства уже вводилось при изучении дискретного преобразования Фурье в гл. 2.

Таким образом, собственные функции гамильтониана (8.5) могут быть выбраны так, чтобы они удовлетворяли условию:

при этом, как будет показано далее, вектор k связан с оператором импульса.

Оператор трансляций может быть записан в виде

ˆr

где k – некоторый оператор, собственное число которого равно k .

и, следовательно, его действие на гамильтониан можно представить как унитарное преобразование

так как

201

вектор k действителен и является одним из разрешенных векторов обратной решетки. Это же относится и к исходному базису для построения гамильтоновой матрицы.

Рассмотрим подробнее вопрос разбиения исходной гамильтоновой матрицы на блоки, соответствующие трансляциям, на конкретном примере одномерной цепочки, описываемой моделью Бозе – Хаббарда, с числом узлов Na = 4 и числом частиц N = 3 . Узельный

базис этой системы состоит из 20 функций:

Φ1 = 0003; Φ2 = 0012; Φ3 = 0021; Φ4 = 0030;

Φ5 = 0102; Φ6 = 0111; Φ7 = 0120; Φ8 = 0201;

Φ9 = 0210; Φ10 = 0300; Φ11 = 1002; Φ12 = 1011; (8.37)

Φ13 = 1020; Φ14 = 1101; Φ15 = 1110; Φ16 = 1200; Φ17 = 2001; Φ18 = 2010; Φ19 = 2100; Φ20 = 3000.

Рассортируем все функции базиса (8.37) на классы с индексом ξ

получаются друг из друга последовательными трансляциями вдоль цепочки.

Выберем в качестве производящей функции класса ξ = 1 функцию

тогда

204

N2 = 3; N3 = 3; N4 = 3; N5 = 3.

Получилось пять классов по четыре функции.

Пример 8.1. В каждом из классов необязательно находится одинаковое число функций. Для случая Na = 4 и N = 2 имеем:

Здесь имеем два класса с Nξ + 1 = Na и один усеченный класс с Nξ + 1 = Na /2 . Таких

усеченных классов, как правило, получается небольшое число, так что в среднем в классе содержится столько функций, каков линейный размер системы ( Na ).

Максимальное число функций в классе не может быть больше линейного размера системы, т.е. Nξ ≤ Na − 1 в случае одномерной системы.

Составим теперь из перегруппированных функций новый базис, который будет собственным базисом для оператора трансляции. Согласно рассмотренным ранее свойствам оператора трансляции, собственные функции этого оператора могут быть записаны в виде

205

комбинаций периодической функции и экспоненциального множителя:

(обратного) пространства, а Rn = na – вектор трансляции n-го порядка.

Коэффициенты Aξ определяются из условия ортонормированности новых базисных функций для конкретного импульса km :

Новый базис представляет собой блочную структуру, пронумерованную по разрешенным векторам обратной решетки km

или секторам импульсов m. Гамильтонова матрица в новом базисе будет блочно-диагональной из-за того, что собственные функции оператора импульса являются одновременно собственными функциями оператора трансляции, коммутирующего с гамильтонианом. Каждый из блоков по импульсам m имеет линейный размер, приблизительно равный количеству классов ξ

(числу производящих функций). Точный размер каждого блока определяется числом всех классов ξ , участвующих в разложении

по импульсу m. Связь между m и размерностью соответствующего блока предстоит выяснить.

Для определения этой связи поступим следующим образом. Допустим, мы выбрали базисные функции ϕξ и сформировали

гамильтонову матрицу в этом базисе, а затем провели процедуру

206

нахождения собственных чисел и собственных векторов. Наложим на собственную функцию, полученную диагонализацией гамильтоновой матрицы, условие: пусть она одновременно является собственной функцией оператора трансляции (и, соответственно, оператора импульса). После диагонализации она представима в виде разложения по этому новому базису:

здесь Сξ – коэффициенты разложения, а суммирование по ξ

проводится по всем классам, участвующим в данном секторе m. Далее,

одновременно собственной функцией оператора трансляции и оператора импульса, т.е.

необходимо, чтобы второе слагаемое в (8.47) было равно нулю, а значит,

Пользоваться условием (8.50) следует так: сначала выбираем конкретный сектор по импульсу m и перебираем все классы ξ так,

чтобы для каждого класса (8.50) удовлетворялось для какогонибудь значения M.

207

Например, если положить m = 0 , то находим, что условию (8.50)

Следовательно, размер блока в гамильтоновой матрице, отвечающего сектору импульсов m = 0 , будет равен 5 × 5 .

Так как в (8.41) – (8.42) Nξ = 3 = Na − 1 для всех ξ , то и в этом

случае условию (8.50) удовлетворяют все пять классов из (8.41) – (8.42), и размер блока в гамильтоновой матрице, отвечающего сектору импульсов m = 1 , также будет равен 5 × 5 .

При m = 2 имеем:

В случае (8.41) – (8.42) нет классов, у которых Nξ + 1 = Na /2, но все классы удовлетворяют условию Nξ = Na − 1 , т.е. и в этом случае размер блока в гамильтоновой матрице будет равен 5 × 5 .

Аналогично находим, что и для последнего сектора по импульсу m = 3 размер блока будет 5 × 5 .

Таким образом, гамильтонова матрица разбивается на четыре блока размером 5 × 5 :

гамильтоновой матрицы в базисе (8.37), так как общее число степеней свободы (размерность гильбертова пространства) системы не зависит от выбора базиса.

208

Пример 8.2. Для случая Na = 4, N = 2 (см. пример 8.1) имеем:

1)сектор нулевого импульса m = 0 . Здесь все классы удовлетворяют условию (8.49), поэтому размер блока в гамильтоновой матрице, соответствующего m = 0 , будет 3× 3 ;

2)m = 1 . В этом случае условию (8.50) удовлетворяют два класса ξ = 1 и ξ = 2 , т.е.

размер соответствующего блока – 2× 2 ;

3) m = 2 . Согласно (8.51), в разложении участвуют все классы, и размер блока – 3× 3 ;

4) m = 3 . В последнем секторе по импульсу

Так как число узлов в системе четно, то выполняется лишь условие Nξ + 1 = Na , и, аналогично случаю m = 1 , участвуют только два класса ξ = 1;2 , и размер блока – 2× 2 .

В итоге гамильтонова матрица разбивается на четыре блока: два блока размером 3× 3 и два блока размером 2× 2 .

Пример 8.3. Рассмотрим более сложный пример. Пусть есть система из N = 8 бозонов на цепочке из Na = 8 узлов, размерность базиса такой системы будет R = 6435 . Применяя метод трансляционной инвариантности задачу можно разбить на блоки, соответствующие секторам импульсов m, со следующими размерами Rm :

В этом случае классы ξ по трансляциям разбиваются на четыре неравные группы:

трех последовательных трансляций;

3) третья группа, в которой Nξ + 1 = 2 , содержит всего одну производящую функцию 02020202 , порождающую еще одну функцию после одной трансляции: 20202020 ;

4) последняя группа, в которой Nξ + 1 = 1 , содержит единственную производящую функцию 11111111 , которая не порождает никаких новых функций, так как любая трансляция опять приводит к ней же.

209

Построим базис для первого блока с нулевым импульсом m = 0 . Согласно выражению (8.49), в этот блок должны войти все классы ξ , их количество равно 810, это число и будет линейным размером этого блока.

Далее в сектор с импульсом m = 1 , согласно соотношению (8.50), войдут все классы с Nξ = Na − 1 , т.е. первые 800 классов; для следующего сектора m = 2 , согласно

(8.51), находим все классы с Nξ + 1 = 4 и Nξ + 1 = 8 , что дает 808 базисных функций; и т.д.

В итоге задача диагонализации разбивается на подзадачи по секторам импульсов, гамильтонова матрица каждой из которых в ~ Na раз меньше по линейному размеру исходной матрицы, и

диагонализация каждой из этих матриц занимает приблизительно в N3a раз меньше времени, чем диагонализация полной матрицы.

Рассчитаем матричные элементы внутри блока, отвечающего сектору m:

Если учесть трансляционную симметрию гамильтониана и узельных функций,

Расчет матричных элементов (8.56) от диагональной части гамильтоновой матрицы в базисе ϕ приводит к следующему:

210