МИФИ_Вычметоды КФ

7.6. Соотношения и предельные случаи для фермионных, бозонных и спиновых моделей сильно коррелированных систем

Модели, рассмотренные в гл. 7, 8 и 9 для различных видов квантовых статистик, глубоко взаимосвязаны, и в предельных случаях могут переходить друг в друга. Именно поэтому в фермисистеме при определенных условиях обнаруживаются магнитные свойства, а спиновое упорядочение может обладать всеми свойствами бозонной сверхтекучей системы.

7.6.1.Связь между бозонной

испиновыми моделями

Одним из предельных случаев бозонной модели Хаббарда (6.14) является XXZ-модель (7.53). Как отмечалось, статистика hard-core- бозонов характеризуется ограничением чисел заполнения узлов более чем одним бозоном, т.е. фактически реализуется принцип Паули, как для фермионов. Отличие же этой статистики от случая от бесспиновых фермионов заключается в симметрии волновой функции, т.е. операторы hard-core-статистики будут фермионными на одном узле и бозонными на разных узлах решетки – они подчиняются так называемой смешанной статистике:

Для бозонной модели Хаббарда (6.14) эта ситуация эквивалентна случаю бесконечного отталкивания на узлах:

При условии (7.104) главную роль в гамильтониане (6.14) играет межузельное взаимодействие V. Запишем гамильтониан hard-core- модели, включив в него явно химический потенциал , допуская

взаимодействие необязательно с ближайшими соседями:

191

Преобразование (7.106) называется преобразованием Холстейна – Примакова.

Можно убедиться, что операторы SX ,SY ,SZ , введенные таким

образом, являются операторами для спина 1/2, подчиняются всем коммутационным соотношениям для спиновых операторов и выражаются через матрицы Паули:

а рождение или уничтожение бозона на узле i эквивалентно, соответственно, уменьшению или увеличению Z-проекции спина на узле i, т.е.

Подставляя соотношения (7.107) в гамильтониан (7.105), получаем:

H = −∑tij(SiXSXj + SiYSYj ) + ∑VijSiZSZj +

или, убирая несущественные постоянные в химический потенциал, и предполагая, что tij ≡ t, Vij ≡ V , имеем:

192

Гамильтониан (7.110) является XXZ-моделью для спина 1/2 с амплитудой взаимодействия t в плоскости XY, и V – по оси Z. При

ферромагнитное упорядочение в XY-плоскости и антиферромагнитное – по оси Z. Соотношение между числом бозонов в hard-core-модели и полной проекцией спина на ось Z в спиновой модели имеет вид

так что полная проекция спина на ось Z равна нулю при N = N2a .

7.6.2. Соответствие между моделью Хаббарда и спиновыми моделями

Соответствие между моделью Хаббарда и спиновыми моделями справедливо только в пределе сильного отталкивания на узле. Вывод, приводимый ниже, в подробностях приведен в [10], здесь же лишь кратко обсудим методику вывода и результаты.

193

V = ∑Uni↑ni↓ ;

σ

Tmix = −t∑((1 − ni, )ai+ aj nj, + ni, ai+ aj (1 − nj, ) + h.c.).

−σ σ σ −σ −σ σ σ −σ

i≠ j

σ

Вклад Td в (7.115) описывает перескоки электрона с узла на узел,

когда оба узлы заняты электронами с противоположным спином; слагаемое Th отвечает перескокам электронов на узлы,

незаполненные электронами с противоположным спином; слагаемое Tmix описывает такие процессы перескока электрона,

когда либо один, либо другой, но не два одновременно, узла, участвующих в перескоке, заняты электроном с противоположным спином. Заметим, что в рассматриваемом пределе U / t >> 1 самый

малый вклад дает слагаемое Td , так как описываемый им процесс

связан с большой добавкой к энергии электрона, E ~ U ; в дальнейшем этим слагаемым можно пренебречь. Также можно пренебречь слагаемым V, так как вероятность нахождения на одном узле двух электронов мала при больших значениях U.

Далее к гамильтониану применяется унитарное преобразование Q, вид которого определяется из дальнейшего анализа, и строится эффективный гамильтониан

При этом удобно часть гамильтониана переписать в спиновых операторах для спина S = 1/2 , вводимых следующим образом:

194

SiZ = 12 (ni↑ − ni↓ ).

Сучетом (7.118) эффективный гамильтониан принимает следующий окончательный вид [10, 11]:

Heff = −t ∑((1 − ni,−σ )ai+σ ajσ (1 − nj,−σ ) + h.c.) +

Гамильтониан (7.119) – предельный случай гамильтониана Хаббарда при больших U. Его называют также t-J-моделью, характеризующейся тем, что в узельном базисе этой модели отсутствуют конфигурации с двойным заполнением узла.

При половинном заполнении, когда на каждый узел приходится один электрон, первое слагаемое в (7.119) становится равным нулю, и модель становится точной изотропной антиферромагнитной

Задачи 7.6. Для изотропной антиферромагнитной модели Гейзенберга с гамильтонианом

периодические граничные условия, рассчитать зависимость средней намагниченности основного и двух нижних возбужденных состояний от величины приложенного вдоль оси z внешнего магнитного поля H. Построить графики зависимостей.

195

7.7. Для изотропной модели Гейзенберга с гамильтонианом

число узлов Na = 6 ; максимальная проекция спина на узле SZ = 3 /2 ; периодические граничные условия, рассчитать зависимость энергии основного состояния и

со спектром из задачи 7.6.

7.8. Для изотропной антиферромагнитной модели Гейзенберга с гамильтонианом

При тех же условиях совершить переход от антиферромагнитной модели к

r

J = 1 ; H = {0,0,HZ} , HZ = 0.1 ; число узлов Na = 8 ; максимальная проекция спина на

основному состоянию, в зависимости от i − j . Построить график зависимости.

При тех же условиях провести расчеты для различных значений HZ , и построить все зависимости коррелятора Si+S−j 0 на одном графике. Проанализировать результат.

196

8.Некоторые физические и математические особенности метода точной диагонализации

Вэтой главе будут рассмотрены некоторые особенности метода точной диагонализации конечных кластеров, которые позволяют сократить объем вычислений и получить дополнительную физическую информацию о системе из результатов численного анализа.

8.1.Конечные кластеры и трансляционная инвариантность

Вбольшинстве случаев рассматриваемые конечные системы, кластеры, выбираются с периодическими граничными условиями (рис. 8.1) для того, чтобы все узлы системы были эквивалентными. Будем далее полагать, что рассматриваемые кластеры –

одномерные цепочки длиной Lx , или двумерные системы размером Lx × Ly , или трехмерные системы размером Lx × Ly × Lz .

→

→

Рис. 8.1. Периодические граничные условия для одномерной и двумерной систем

197

Для конкретных случаев может быть выбрана и другая, необязательно периодическая, геометрия кластера (периодическая геометрия кластера называется также геометрией тора). Используют также антипериодические граничные условия, свободные, или нулевые, граничные условия и другие варианты геометрии кластеров.

Далее будут рассматриваться только кластеры с периодическими граничными условиями. В этом случае все узлы системы эквивалентны, что позволяет сократить объем расчетов за счет уменьшения размерности гильбертова пространства системы.

Понизить размерность фоковского базиса системы можно, если учесть симметрию кластера. Например, для периодической цепочки с Na узлами возможно учесть трансляционную инвариантность и

перейти в систему функций, являющихся одновременно собственными функциями оператора трансляции и оператора импульса. В этом новом базисе гамильтонова матрица будет иметь блочно-диагональный вид, и можно отдельно решить задачу Шредингера для каждой из трансляций или для каждого сектора импульса.

Для дальнейшего изложения необходимы некоторые понятия из теории периодического потенциала, обычно рассматриваемые в физике твердого тела [4, 31]. Следует выяснить вид волновых функций, для которых справедливы инварианты, связанные с периодичностью пространства.

Если имеется пространственная периодическая структура

(кристаллическая решетка), то вектор трансляции R на этой структуре определяется как

где n1 ,n2 ,n3 – целые числа, a1 ,a2 ,a3 – базисные векторы решетки.

Периодическая структура с определенным на ней вектором трансляции называется решеткой Бравэ (рис. 8.2).

198

Рис. 8.2. Двумерная решетка Бравэ

Выбрав один из узлов решетки и задавая различные n1 ,n2 ,n3 ,

можно получить координаты любого из узлов решетки, т.е. векторы трансляции (8.1) полностью определяют пространственную решетку Бравэ.

Для каждого вектора трансляции введем оператор трансляции TR , под действием которого аргумент любой функции f(r) ,

определенной в пространстве решетки, сдвигается на R :

Результат двух последовательных трансляций не зависит от порядка их применения, так как

т.е. оператор трансляции коммутирует с гамильтонианом. Это означает, что для операторов H и T существует общая система собственных функций, для которых справедливо:

HΨ = EΨ;

(8.8)

TRΨ = c(R)Ψ,

здесь c(R) – собственные значения оператора трансляции. Из (8.4) получаем, что

В общем случае, для каждого базисного вектора решетки можно записать:

где xj – комплексное число. Пользуясь свойствами собственного значения оператора трансляции (8.10), находим для вектора трансляции R :

где k – вектор, имеющий размерность вектора обратной решетки.

Вектор k в (8.12) определен с точностью до произвольного вектора g вида

n – целое число. Множество таких векторов можно представить в виде разложения

α=1

где mα – целые числа, а векторы b обычно выбираются в виде: