МИФИ_Вычметоды КФ

ЧАСТЬ 1

КВАНТОВЫЕ ОДНОЧАСТИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

1.Матричная формулировка квантовой механики. Операции с матрицами

1.1.Уравнение Шредингера

Согласно постулату квантовой механики, состояние системы может быть описано определенной функцией координат Ψ(q) , причем

квадрат модуля этой функции определяет распределение вероятностей значений координат: Ψ 2 dq есть вероятность того,

что произведенное над системой измерение обнаружит значения координат в элементе dq конфигурационного пространства.

Функция Ψ называется волновой функцией системы [1]. Согласно принципу суперпозиции состояний квантовой механики, все уравнения, которым удовлетворяют волновые функции, должны быть линейными по Ψ . Каждой вещественной физической величине может быть поставлен в соответствие эрмитов оператор, вид которого может быть определен из физических соображений.

Волновая функция Ψ полностью определяет состояние физической системы. Это означает, что задание волновой функции в некоторый момент времени не только описывает все свойства системы в этот момент, но определяет ее поведение также и во все будущие моменты времени. Математически это выражается тем, что производная по времени от волновой функции зависит от самой волновой функции, причем эта зависимость, согласно принципу

11

суперпозиции, должна быть линейной, что приводит к уравнению Шредингера:

оператором или гамильтонианом.

Для стационарных состояний, не зависящих от времени, основная задача квантовой механики – решение стационарного

уравнения Шредингера

спектральной задачи Штурма – Лиувилля (в дальнейшем будем иметь дело именно со стационарными состояниями). Если решение этого уравнения известно, то связь нестационарного и стационарных решений следующая:

n

где an – коэффициенты разложения, квадраты модулей которых определяют вероятности различных значений энергии системы.

Рассмотрим систему, обладающую конечным количеством дискретных степеней свободы (все результаты, полученные далее, будут справедливы и для систем с непрерывными степенями свободы). Степени свободы системы образуют гильбертово пространство, в котором можно выбрать полную

ортонормированную систему функций Φn , так что ∫ΦnΦn′dx = δnn' , а

интеграл понимается в смысле скалярного произведения по степеням свободы. Разложим искомую волновую функцию Ψ уравнения Шредингера по этой полной системе:

12

Далее, умножим это уравнение с обеих сторон на Φ*m и

проинтегрируем по степеням свободы. В итоге, используя ортонормированность базисных функций Φn , имеем систему

матричные элементы оператора энергии – элементы гамильтоновой матрицы. Фактически имеем задачу на собственные значения для этой матрицы:

где I – единичная матрица. Это уравнение также называют секулярным. Для каждого квантового оператора в выбранном базисе можно выписать соответствующую матрицу, действующую на волновые функции, которые имеют вид столбцов чисел (векторов), соответствующих коэффициентам разложения волновых функций в том же базисе:

С1С2

Ψ = ... . (1.9)

Cn...

1.2. Собственно энергетическое представление и собственные функции оператора H

Итак, задача квантовой механики может быть переформулирована как задача нахождения собственных значений и собственных векторов гамильтоновой матрицы. Как правило, гамильтонова

матрица эрмитова, т.е. ее элементы обладают свойством Hnm = H*mn .

Можно доказать, что спектр эрмитовой матрицы действителен. Получившиеся собственные векторы составлены из коэффициентов

13

разложения по исходному базису: Ψm = ∑CmnΦn , и квадраты

n

модулей этих коэффициентов имеют смысл вероятностей нахождения системы в этих исходных состояниях, т.е. Cmn 2 есть

вероятность того, что, произведя измерение системы, находящейся в собственном состоянии Ψm , обнаружим ее в состоянии Φn из

исходного базиса. Так как функции Ψm – собственные, то они обладают свойством HΨm = EmΨm , т.е. в базисе функций Ψ матрица оператора H имеет диагональный вид:

Представление, в котором гамильтонова матрица диагональна, называется собственно энергетическим или собственным.

Отметим некоторые свойства собственных функций.

1.Если Ψ – собственная функция, отвечающая собственному значению E, то и C Ψ (С – константа) есть собственная функция, отвечающая тому же собственному значению.

2.Если Ψ1 и Ψ2 – собственные функции, отвечающие

14

Проинтегрируем это тождество по области определения функций:

В силу эрмитовости оператора H левая часть уравнения равна нулю, что и требовалось доказать.

4. Очень важное свойство операторов, часто облегчающее

решение задач: если два оператора физических величин L и M имеют общую систему собственных функций, то они коммутируют

ˆˆ ˆˆ ˆˆ

друг с другом: [LM] = LM − ML = 0 . И наоборот, если операторы коммутируют, то они имеют общую систему собственных функций.

Докажем первое утверждение. Очевидно, что для любой собственной функции, общей для этих операторов, справедливо следующее:

(µn , λn – соответствующие собственные числа операторов), что и доказывает утверждение.

Докажем обратное утверждение. Общая система собственных функций означает, что матрицы Lmn и Mmn обе имеют

диагональный вид в базисе этих собственных функций. Рассмотрим, для определенности, систему собственных функций оператора L. Тогда имеем следующее:

λmMmn = λnMmn Mmn(λm − λn) = 0.

Если собственные значения L не вырождены, то из последнего равенства следует, что

т.е. матрица M диагональна, что и требовалось доказать. Если же среди значений λn есть одинаковые, т.е. такие собственные

значения, которым соответствует несколько собственных функций,

15

то всегда можно выбрать такие линейные комбинации этих собственных функций, чтобы обратить в нуль соответствующие недиагональные матричные элементы Mmn .

Это свойство можно проиллюстрировать применительно к конкретным физическим задачам следующим образом: если какойнибудь оператор (например, оператор числа частиц, оператор суммарного спина системы и т.д.) коммутирует с гамильтонианом, то в собственно энергетическом представлении, после нахождения спектра и волновых функций, соответствующие физические величины (число частиц, спин и т.д.) также являются вполне определенными, и сохраняют свое (собственное) конкретное значение. Иначе говоря, весь спектр энергий можно разделить на совершенно независимые группы, относящиеся к определенному значению данной физической величины (числа частиц, спина и т.д.). Таким образом, квантовую задачу можно упростить, независимо решая ее для конкретного значения данной физической величины, а потом объединяя результаты. Математически гамильтонова матрица в этом случае представима в блочнодиагональном виде, каждый блок при этом соответствует определенному значению рассматриваемой физической величины (определенному числу частиц, определенному спину системы и т.д.), а перекрестных матричных элементов между блоками нет (см.

пример 1).

Пример 1.

Рассмотрим систему из трех спинов (подробно системы со спиновыми степенями свободы будут рассмотрены в гл. 9), описываемую гамильтонианом

3 r r

H = ∑SiSj ,

i,j=1

где Si – оператор спина на узле i, причем максимальная проекция спина на каждом узле равна Smaxz = 1 /2 (рис. 1.1).

16

S2z = ± 12

Рис. 1.1. Система из трех спинов SiZ = ±1 /2

Каждый из спинов, таким образом, может находиться в одном из двух состояний: либо в состоянии Si = + 12 , либо в состоянии Si = − 12 , всего в системе будет 23 = 8

состояний, которые можно разбить на группы в соответствии с полным спином системы:

Гамильтонова матрица в этом базисе будет иметь следующий вид (расчет матричных элементов гамильтоновой матрицы будет описан ниже при рассмотрении спиновой статистики):

HSz − SzH = 0 , то гамильтонова матрица имеет блочно-диагональный вид и состоит

17

из четырех блоков, каждый из которых отвечает одному из возможных четырех значений полного спина системы: блок размером 1х1, отвечающий Sz = + 23 ; блок

размером 3х3, отвечающий Sz = + 12 ; блок размером 3х3, отвечающий Sz = − 12 ; и блок размером 1х1, отвечающий Sz = − 23 .

1.3. Определение спектра. Инварианты матриц

Фактически процедура нахождения спектра сводится к преобразованию гамильтоновой матрицы к диагональному виду с

помощью некоторого унитарного преобразования вида H′ = S−1HS ,

где S – унитарная матрица, обладающая свойством S+ = S−1 . Собственно, нахождение этого унитарного преобразования и есть решение проблемы. Методы численного решения этой задачи достаточно разнообразны. Наиболее употребительным является метод преобразования матрицы к верхней (нижней) форме Хаусхолдера (треугольная матрица с нулевыми матричными элементами ниже (выше) главной диагонали). Тогда на главной диагонали выстраиваются собственные значения матрицы – спектр системы. Существуют стандартные процедуры диагонализации для трехдиагональной вещественной, симметричной вещественной, комплексной эрмитовой и, наконец, для произвольной комплексной матрицы. Время расчета полной спектральной задачи

пропорционально N3 , где N – линейный размер матрицы (пока не обсуждаем методы расчета редких матриц и процедуры Ланцоша, метод сопряженных градиентов и т.д.).

Инвариантами матриц называются такие характеристики матриц, которые не изменяются при унитарных преобразованиях.

В общем случае важнейшие инварианты даются неинвариантным

характеристическим уравнением матрицы:

18

= (−1)n λn + (−1)n−1 ∑Hiiλn−1 + ...+ det(H).

Коэффициенты этого полинома являются инвариантами, в частности: след матрицы (сумма диагональных элементов матрицы) Tr(H) = ∑Hii ; определитель матрицы det(H) .

i

Важными инвариантами являются N корней характеристического уравнения матрицы H – собственные значения λ1 ,λ2 ,...,λN . Их

совокупность (каждый корень считается столько раз, какова его кратность) образует спектр матрицы H , нахождение которого вместе с соответствующими собственными волновыми функциями и является главной задачей в квантовой механике.

При унитарных преобразованиях также сохраняется нормировка волновых функций, т.е. если унитарное преобразование F

переводит координаты q в координаты q′ : q F → q′ , то ∫ Ψ(q) 2 dq =∫ Ψ(q′) 2 dq′ = const .

При решении спектральных задач часто бывает необходима точная оценка минимального или максимального собственного значения матрицы еще до полного решения спектральной задачи. Пусть собственные значения упорядочены следующим образом λ1 > λ2 > λ3 > ... > λN . Зададим произвольный вектор X0 и будем

последовательно вычислять вектора Xn+1 = HXn . Разложим нулевой

вектор по собственным функциям, как будто спектральная задача решена: X0 = ∑CnΨn . Тогда можно показать, что

n

19

при n → ∞ ответ будет стремиться к точному значению.

Для определения максимального (минимального) собственного значения по формуле (1.19) следует перед расчетом сдвинуть весь спектр матрицы H на большую величину Λ вверх (вниз) путем добавления к гамильтоновой матрице диагональной матрицы:

значение λmax + Λ ( λmin − Λ ) будет самым большим по модулю, и

решение (1.19) будет сходиться именно к нему. После расчета следует вычесть (добавить) число Λ из получившегося решения.

20