МИФИ_Вычметоды КФ

В этом несложно убедиться дифференцированием по параметру ϕ и использованием коммутационных соотношений.

Задача 7.4. Доказать (7.77).

Далее разобьем всю пространственную решетку на две подрешетки A и B, вложенные друг в друга, так что для узла A всегда ближайшими соседями будут узлы B, и наоборот. Применим ко всем узлам A унитарное преобразование вида

которое, согласно (7.77), меняет знак у операторов S± подрешетки A:

Тогда, применяя это унитарное преобразование к гамильтониану, находим:

Задача 7.5. Получить (7.80).

В результате преобразования у поперечной составляющей обменного взаимодействия поменялся знак, а спектр оператора H при этом преобразовании не меняется (см. (5.24)). Отсюда следует, что при расчете перед коэффициентом J можно выбрать любой

удобный знак, а физические свойства системы – ферромагнетизм или антиферромагнетизм – будут определяться только знаком продольной составляющей J|| .

Далее кратко перечислены некоторые известные аналитические результаты для модели Гейзенберга.

Существует точное решение одномерной XXZ-модели для S = 1 /2

[8], полученное методом анзатца Бете. В частности, если внешнее поле отсутствует и J|| ≥ J , основное состояние является

181

ферромагнитным, все спины имеют только максимальные проекции +S , и энергия системы равна

где Z – число ближайших соседей.

Были получены ответы и для ситуации антиферромагнитной цепочки, J|| < J , и рассчитан спектр возбуждений. Известны также

аналитические результаты для одномерной XYZ-модели (7.52) [8].

Для целого спина (например, S = 1 ) в антиферромагнитных моделях известно, что в спектре возбуждений имеется щель (щель Холдейна) [8], в то время как для полуцелого спина возбуждения, как правило, – спиновые волны с линейным законом дисперсии. В ферромагнитных моделях возбуждения над основным состоянием (магноны) являются квазичастицами с большой эффективной массой и статистикой Бозе [10].

Особый случай – модель Изинга (7.55), для нее известны аналитические результаты для одномерного и двумерного случаев. Модель Изинга будет подробно рассмотрена далее при изучении методов Монте-Карло.

Детально не будем касаться огромной области исследований спиновых моделей [8, 11, 28]. Существенный прогресс при исследовании спиновых моделей в двумерной и трехмерной ситуациях получен при помощи различных приближенных методов, например в приближении среднего поля.

где σk = {σkX ,σkY ,0}, σkX ,σkY ,σkZ – матрицы Паули.

Анизотропный гамильтониан (7.82) учитывает, таким образом, только взаимодействие между спинами в плоскости xy и взаимодействие спинов с внешним полем по оси z.

182

Представим взаимодействие в плоскости в приближении среднего поля следующим образом:

где σk – среднее значение спина на узле k.

Это означает, что каждый спин взаимодействует с усредненным

Введем среднее поле спинов, действующих на выделенный спин σk , в следующем виде:

С учетом определения матриц Паули каждое из слагаемых в первой сумме в (7.86) может быть записано в виде

Эту матрицу несложно диагонализовать, т.е. решить секулярное

Таким, образом, процедура аналитической диагонализации гамильтониана эквивалентна в геометрическом смысле повороту оси квантования z на некоторый угол относительно старого положения, так что под новым углом взаимодействие спинов с

эффективным полем Hk будет диагональным, а проекции спина σkZ

183

будут квантоваться вдоль новой оси. С учетом (7.86) гамильтониан принимает вид

В выражении (7.91) пока не известен параметр σ k . Для его

Решение этого трансцендентного уравнения и приводит к ответу. Если рассмотреть ферромагнитный случай и ограничиться взаимодействием лишь с ближайшими соседями, положив Jkk′ ≡ J > 0 , то находим:

Полученное выражение отвечает основному состоянию системы спинов, в котором все они повернуты по направлению новой оси квантования вдоль поля Hk (рис. 7.3).

184

Рис. 7.3. Новая ось квантования направлена вдоль поля Hk

Рассмотрим далее основное и возбужденные состояния в ферро- и антиферромагнитной моделях Гейзенберга и сравним их друг с другом (для более подробного изучения вопроса см. [8, 10]). Для простоты выберем XXX-модель (7.56) без внешнего поля и запишем

гамильтониан в терминах операторов SZ ,S± :

Обобщим сначала результат (7.81) для энергии основного состояния ферромагнитной модели ( J > 0 ) для произвольной

максимальной проекции S и на случай произвольной геометрии системы. Действительно, вклад в энергию основного

состояния (7.47) дают только операторы SZ в (7.95), а поперечные составляющие вида S+S− не дают вклада, так как в основном состоянии все проекции максимальны, и действие оператора S+ приводит к физическому нулю: S+ S ≡ 0 , а значит, результат (7.81) для энергии основного состояния остается справедливым.

Для антиферромагнитного случая ( J < 0 ) все обстоит не так просто. Для описания антиферромагнитного состояния (см. (7.48)) следует ввести две подрешетки, вложенные друг в друга, в одной из которых все спины направлены, в основном, вверх (подрешетка «+»), а в другой – вниз (подрешетка «–»). Суммарный спин системы будет равен нулю в основном состоянии, но в каждой из подрешеток он принимает макроскопическое значение, близкое, но не равное точно SNa /2 , где Na – число узлов в пространственной

185

решетке, так что упорядоченное состояние (это состояние называется неелевским) также имеет место. Вклад в энергию основного состояния от поперечных компонент взаимодействия в антиферромагнитном случае будет мал, но не равен нулю, так что можно записать лишь приближенно, что

Отличие точного значения энергии основного состояния от (7.96) особенно существенно при понижении размерности. Сравним энергии основного состояния для ферро- и антиферромагнитной моделей при расчете конкретных одномерных и двумерных спиновых кластеров с периодическими граничными условиями методом точной диагонализации гамильтоновой матрицы (табл. 7.2).

Таблица 7.2. Энергия основного состояния для различных спиновых кластеров

Видно, что чем больше максимальная проекция спина и чем выше размерность, тем ближе энергия основного состояния антиферромагнетика к значению выражения (7.96).

Причина различий – в нулевых колебаниях элементарных возбуждений в антиферромагнетике и все большем их вкладе в основное состояние при понижении размерности. Также при увеличении величины S спин становится все более "классическим", и вклад нулевых колебаний ослабевает. В то же время в спектре ферромагнетика таких нулевых колебаний нет.

Для того, чтобы понять природу возбуждений в ферро- и антиферромагнетике, рассмотрим спектр возбужденных состояний в каждом из случаев [8, 10].

186

Таким образом, новые квазичастицы-возбуждения, магноны, являются бозонами, а после аналитической диагонализации гамильтониана (подробности см. в [10]) можно найти спектр магнонов. После замены операторов в модели (7.95) согласно (7.97) и учитывая малость числа возбуждений, находим:

Переходя к фурье-компонентам, получаем спектр магнонов ω(q) : H = E0 + ∑hω(q)aq+aq;

где a – период пространственной решетки спинов. Спектр магнонов при малых импульсах квадратичен, поэтому магноны являются возбуждениями бозонного типа с эффективной массой

m* = h2 /2SJa2 . Заметим, что при нулевой температуре магнонов нет, и энергия основного состояния равна значению (7.81).

Для антиферромагнетика спектр возбуждений находится подобным же образом [10], только вводятся две подрешетки, и фиктивные бозоны определяются следующим образом:

Нетрудно доказать, что эти новые операторы также являются бозевскими операторами при SZ ≈ S = const .

Полагая далее, что для подрешетки "+" SZ ≈ S , а для подрешетки "–" SZ ≈ −S , с учетом малости числа возбуждений находим [10]:

188

Таким образом, бозевские возбуждения для антиферромагнетика

является скоростью спиновых волн. Заметим, что в выражении для энергии антиферромагнетика (7.102) при нулевой температуре

отсутствуют возбуждения (вклад aq+aq = 0 ), но энергия отличается

от выражения (7.96) для E0 на аддитивную поправку − ∑hAq , а

q

также на вклад нулевых колебаний (член с 1/2). Это различие и объясняет результаты численного анализа, представленные выше в таблице.

Таким образом, у ферромагнетика в основном состоянии суммарная

Первое возбужденное состояние в антиферромагнетике также

характеризуется нулевой проекцией полного спина: SZ = 0 , так

1

как спиновые возбуждения при своем распространении по кристаллу не меняют суммарную проекцию спина.

Зная свойства основного состояния и низших возбуждений, можно при численном расчете спиновой системы сделать вывод о фазовых состояниях, в которые переходит система при изменении параметров взаимодействия. Продемонстрируем это на конкретном численном примере.

Пример 7.3. Рассмотрим спиновую цепочку с S = 1 , описываемую следующей моделью:

189

значениях U спины стремятся расположиться в плоскости xy).

Рис. 7.5. Фазовая диаграмма модели из примера 7.3 Фазовая диаграмма основного состояния этой модели изучалась в [17, 29, 30] точной

первом возбужденном состоянии); 4 – спиновая XY-жидкость (бесщелевое состояние с Sz = ±1 в первом возбужденном состоянии). Кроме того, в [29] наблюдалась еще

одна фаза, так называемая "spin-½-like" XY-фаза (область 5 на рис. 7.5), которая характеризуется Sz = 0 в основном состоянии и Sz = ±2 в первом возбужденном.

190