МИФИ_Вычметоды КФ

Рис. 7.2. Схематичное изображение нанокластера (7.57). Кружками показаны атомы марганца, внутренние атомы имеют максимальную проекцию спина S=3/2, внешние – S=2

Простейшая модель, описывающая магнитные свойства кластера (7.57), имеет вид

+ J4 (S5S6 + S6S7 + S7S8 + S8S9 + S9S10 + S10S11 + S11S12 + S5S12),

причем максимальные проекции спина внутренних и внешних

171

7.3. Формирование гамильтоновой матрицы для спиновых моделей

Для построения гамильтоновой матрицы перепишем сначала слагаемое, отвечающее взаимодействию спинов в модели (7.50), в

терминах операторов S+ и S− :

Задача 7.3. Получить (7.60).

Аналогично, для слагаемого, отвечающего взаимодействию с внешним полем, имеем:

HHr = −∑(HXSiX + HYSiY + HZSiZ ) =

оператора: оператор z-проекции спина SZ и операторы S± . Именно в таком виде и используется оператор энергии для построения матричных элементов.

Из-за того, что в последнем слагаемом появляются комплексные множители, систему координат выбирают таким образом, чтобы направление внешнего поля было перпендикулярно оси y, и тогда в (7.61) остаются лишь два первых слагаемых.

Далее полагаем, что внешнее поле направлено вдоль оси z, и гамильтониан модели имеет вид:

Для формировании базиса модели и расчета матричных элементов спиновых операторов удобно перейти к неотрицательным числам заполнения ni – к так называемым фиктивным бозонам или

псевдобозонам по правилу

172

Тогда минимальной проекции спина на ось z SminZ = −S ставится в соответствие заполнение n = 0 , а максимальной проекции SmaxZ = +S – заполнение n = 2S . Например, для случая S = 1 имеем:

S = 1 /2 совпадает с числом бозонных степеней свободы в hard- core-модели, а для S = 1 – с числом бозонных степеней свободы в редуцированной бозонной модели.

Базис волновых функций будет полностью совпадать с соответствующим базисом для бозонной системы с ограничением

эквивалентна функции 0,2,3,... в базисе фиктивных бозонов и т.п.

После формирования базиса при вычислении матричных элементов операторов также следует учесть замену переменных (7.63):

SiZ ...ni ... = (ni − S) ...ni ...;

Si− ...ni ... = ni(2S − ni + 1) ...(ni − 1)....

Вчастности, для S = 1 /2 имеем:

В этом случае операторы S± полностью аналогичны операторам рождения и уничтожения a+ и a в бозонной hard-core-модели.

Так как операторы проекции спина на ось z и операторы S+ и S− , относящиеся к разным узлам, коммутируют между собой, то при расчете матричных элементов модели (7.62) операторы можно переставлять друг с другом, знаки матричных элементов при этом не изменятся. Рассмотрим сначала слагаемые гамильтониана, дающие диагональный вклад в гамильтонову матрицу:

Оставшиеся слагаемые гамильтониана (7.62) дают недиагональный вклад в гамильтонову матрицу. Например,

Рассмотрим далее конкретный пример построения гамильтоновой матрицы для спиновой системы.

Пример 7.1. Пусть есть периодически замкнутая система из трех узлов ( Na = 3 ),

описываемая XXX-моделью с гамильтонианом

3

H = −∑(SiXSiX1 + SiX1SiX + SiYSiY1 + SiY1SiY + SiZSiZ 1 + SiZ 1SiZ) ,

+ + + + + +

i=1

причем максимальная проекция спина на узле S = 1 , а суммарная проекция спина на ось z равна нулю: ∑SiZ = 0 .

i

Перепишем гамильтониан в терминах операторов SZ ,S+ ,S− :

Тогда, переходя к фиктивным бозонам,

N = ∑ni = ∑(S + SiZ) = 3 .

ii

Базис для такой системы состоит из семи функций:

Φ1 = 012; Φ2 = 021; Φ3 = 102; Φ4 = 111; Φ5 = 120; Φ6 = 201; Φ7 = 210,

которые соответствуют следующим спиновым конфигурациям:

Φ1 −1;0;1; Φ2 −1;1;0; Φ3 0;− 1;1; Φ4 0;0;0; Φ5 0;1;− 1; Φ6 1;− 1;0; Φ7 1;0;− 1.

С учетом (7.67) и (7.68) находим гамильтонову матрицу:

На главной диагонали гамильтоновой матрицы находится вклад от диагональных операторов SZ , а вне главной диагонали располагаются вклады от операторов S± .

После процедуры диагонализации гамильтоновой матрицы обычно требуется рассчитать различные корреляционные средние, такие

функция основного состояния системы. Каждая полученная после диагонализации собственная волновая функция гамильтониана представляет собой линейную комбинацию исходных узельных функций:

где Cnm – коэффициенты разложения собственных функций Ψ по базису Φ . Поскольку матричные элементы оператора SiZSZj в базисе Φ известны, то

175

Аналогично рассчитываются и другие физические величины. Все правила расчета, справедливые для фермионов и бозонов, также применимы и для спиновых систем.

7.4.Инварианты в спиновых моделях

Рассмотрим модель Гейзенберга с внешним полем, направленным вдоль оси z:

Оказывается, в этом случае в системе сохраняется проекция полного спина системы на ось z:

Докажем утверждение (7.72), для чего рассмотрим коммутатор [H, SZ ] . Имеем:

что и доказывает утверждение (7.72).

176

Гамильтонова матрица, таким образом, разбивается на блоки, стоящие на главной диагонали и отвечающие различным суммарным проекциям спина, все элементы вне этих блоков равны нулю:

и задача распадается на группу отдельных задач для каждого значения суммарной проекции спина.

Пример 7.2. Рассмотрим ту же модель, что и в примере 7.1, но без ограничения на суммарную проекцию спина:

Базисных функций в этом случае будет R = 33 = 27 : Φ1 = −1;− 1;− 1;

Φ2 = − 1;− 1;0;

Φ3 = − 1;− 1;1;

Φ4 = − 1;0;− 1;

...

Φ27 = 1;1;1.

Переходя к представлению фиктивных бозонов и сортируя функции в соответствии с суммарной проекцией спина, получаем узельный базис, состоящий из семи групп (табл. П7.1):

177

Таблица П7.1. Базисные функции

впредставлении фиктивных бозонов, упорядоченные

всоответствии с полной проекцией спина

Используя (7.67) и (7.68), получаем гамильтонову матрицу, портрет которой (места ненулевых элементов) изображен на рис. П7.1.

Рис. П7.1. Портрет гамильтоновой матрицы

Матрица гамильтониана имеет блочно-диагональный вид и состоит из семи блоков, в соответствии с семью возможными значениями полной проекции спина системы. Ниже выписаны матрицы, соответствующие каждому из блоков:

178

SZ = +3 : H+3 = (−3).

Заметим, что матрица, соответствующая нулевой суммарной проекции спина, получилась в точности совпадающей с матрицей из примера 7.1, где рассматривалась задача с фиксированной полной проекцией спина.

Утверждение (7.72) также становится понятным, если записать гамильтониан в терминах операторов S+ и S− (см. (7.62)). Видно, что действие каждого из слагаемых, входящих в гамильтониан, не меняет суммарной проекции спина на ось z – операторы вида Si+S−j

лишь меняют проекции на узлах i и j, оставляя сумму этих проекций неизменной.

Если же поле направлено под углом к оси z, т.е. имеются ненулевые компоненты внешнего поля и по другим направлениям, то в гамильтониане (7.71) появится дополнительное слагаемое вида

179

и суммарная проекция спина на ось z уже не будет сохраняться. Соответственно из-за того, что операторы, входящие в (7.75), меняют суммарную проекцию спина в системе, в гамильтоновой матрице (7.74) возникнут ненулевые межблочные элементы, и в этом случае задачу надо решать с нефиксированной проекцией спина, т.е. рассматривать всю матрицу H целиком.

Тем не менее, если гамильтониан системы изотропен, то даже в этом случае можно использовать рассмотренный выше инвариант. Действительно, если все направления в системе эквивалентны, то выбор определенной оси, вдоль которой квантуется проекция спина, произволен, а значит, выбором оси квантования z вдоль

7.5. Некоторые результаты для модели Гейзенберга. Спектр возбуждений

Рассмотрим анизотропную XXZ-модель во внешнем продольном поле:

если взаимодействие в системе осуществляется только между ближайшими соседями. Для этого сначала покажем, что справедливо следующее операторное тождество: